在应对被留置人员绝食的问题时，我们首先要明确的是，监察机关在留置期间有责任保障被留置人员的饮食、休息和安全，这是法律明确规定的。针对绝食这一特殊情况，以下是一些建议性的应对措施：

一、及时沟通与了解原因

1. 与被留置人员沟通：首先，应尽快与被留置人员进行沟通，了解其绝食的具体原因。这可能涉及到对调查的不满、个人情绪问题、健康问题或其他特殊原因。
2. 评估健康状况：同时，要评估被留置人员的健康状况，特别是如果绝食已经持续一段时间，需要关注其是否有脱水、低血糖等健康风险。

二、提供必要的医疗支持

1. 安排医疗检查：根据被留置人员的健康状况，及时安排医疗检查，确保其身体状况得到及时监测和处理。
2. 提供营养支持：如果被留置人员因绝食导致身体虚弱，应考虑通过静脉输液等方式提供必要的营养支持，以维持其基本生命活动。

三、心理疏导与情绪安抚

1. 进行心理疏导：绝食往往与被留置人员的心理状态有关，因此，应安排专业的心理疏导人员对其进行心理疏导，帮助其缓解压力、调整情绪。
2. 情绪安抚：在沟通过程中，要耐心倾听被留置人员的诉求，给予其充分的表达机会，并通过温和的语言和态度进行情绪安抚。

四、依法依规处理

1. 遵循法律程序：在处理绝食问题时，必须严格遵循法律程序，确保所有措施都在法律框架内进行。
2. 记录与报告：对被留置人员的绝食情况、沟通记录、医疗处理措施等应进行详细记录，并及时向上级报告，以便及时采取进一步措施。

五、考虑特殊情况下的灵活处理

1. 特殊需求满足：如果被留置人员因宗教信仰、文化习惯等特殊原因绝食，且其健康状况允许，可以在确保安全的前提下，考虑满足其特殊需求，如提供符合其信仰或习惯的食物（在不影响调查的前提下）。
2. 家属沟通：在必要时，可以与被留置人员的家属进行沟通，了解其家庭背景、个人习惯等，以便更好地理解和处理绝食问题。

六、持续关注与后续跟进

1. 持续关注健康状况：即使绝食问题得到初步解决，也应持续关注被留置人员的健康状况，确保其身体得到恢复。
2. 后续跟进与评估：对绝食事件的处理过程进行后续跟进和评估，总结经验教训，以便在未来遇到类似情况时能够更迅速、更有效地应对。

总之，应对被留置人员绝食问题需要综合考虑法律、医疗、心理等多个方面，确保在保障被留置人员合法权益的同时，维护调查的顺利进行。