当行政处罚当事人面临经济困难时，他们确实有权依法向作出行政处罚决定的行政机关申请延期或分期缴纳罚款。以下是对此问题的详细解答：
结论前置：当事人因经济困难无法按时缴纳罚款时，可向行政机关申请延期或分期缴纳，经批准后在约定的期限内免予加处罚款。
一、申请延期或分期缴纳罚款的依据与流程
法律依据：
- 根据《中华人民共和国行政处罚法》第六十六条第二款，当事人确有经济困难，需要延期或者分期缴纳罚款的，经当事人申请和行政机关批准，可以暂缓或者分期缴纳。
申请流程：
- 准备材料：收集能证明经济困难的相关材料，如收入证明、财产状况证明等。
- 提交书面申请：向作出行政处罚决定的行政机关提交详细的书面申请，并附上证明材料。
- 行政机关审核：行政机关对申请及材料进行审查，评估经济困难程度及延期或分期缴纳方案的合理性。
- 签订协议：若申请获批，双方签订书面协议，明确约定延期或分期缴纳的具体事项。
二、法律后果与保障
- 在经批准的延期或分期缴纳期间，当事人不会因未按时缴纳罚款而遭受额外的罚款或强制执行措施。
- 若未能按照协议履行缴纳义务，行政机关有权恢复强制执行，并可依法加处罚款。
三、注意事项与建议
- 如实陈述：当事人在申请时应如实陈述经济困难情况，并提供真实有效的证据材料。
- 积极沟通：与行政机关保持积极沟通，了解申请进展，及时配合提供所需信息。
- 遵守协议：一旦申请获批，应严格遵守协议约定的缴纳期限和金额。
- 法律救济：若对行政处罚决定有异议，可依法通过行政复议或行政诉讼等途径维护合法权益。
综上所述，行政处罚当事人在面临经济困难时，应依法向行政机关申请延期或分期缴纳罚款，以确保自身权益得到有效保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。