结论：一般情况下，被司法冻结财产不会连子女的银行账户一起冻结，法律上有明确的规定和界限。
法律背景与解释：
司法冻结的针对对象：
- 司法冻结是法院根据法律程序，对被执行人（即债务人或违法者）的财产采取的一种强制措施，旨在保障债权人的合法权益或执行法院的判决、裁定。
- 冻结的对象通常是被执行人名下的财产，包括银行账户、房产、车辆等。
子女银行账户的独立性：
- 子女的银行账户是独立于父母（包括被执行人）的财产，除非有证据表明该账户资金属于被执行人所有或存在其他法定情形（如恶意转移财产等），否则法院不会冻结子女的银行账户。
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释，法院在执行过程中应遵循合法、合理、公正的原则，不得随意扩大执行范围，侵犯无辜第三人的合法权益。
特殊情况下的处理：
- 如果被执行人通过子女银行账户进行资金转移，以逃避执行，法院在查明事实后，有权对该账户进行冻结。但这种情况需要严格的证据支持，且需经过法定程序。
- 如果子女作为共同债务人或担保人，与被执行人共同承担债务责任，那么在执行过程中，子女的财产（包括银行账户）也可能被纳入执行范围。但这与单纯因被执行人身份而冻结子女账户是不同的。
法律建议：
- 如果您或您的家人面临司法冻结的情况，首先应了解冻结的具体原因和法律依据。
- 如果您认为冻结行为存在错误或不当之处，可以及时向法院提出异议，并提供相关证据支持自己的观点。
- 在处理此类问题时，建议咨询专业律师，以便更好地了解自己的权利和义务，并采取合适的法律措施维护自己的合法权益。
可能后果：
- 如果冻结行为合法且正当，被执行人应积极配合法院的执行工作，履行相关义务。否则，可能面临更严重的法律后果，如被列入失信被执行人名单、限制高消费等。
- 如果冻结行为存在错误或不当之处，被执行人或相关利害关系人有权通过法律途径寻求救济，以维护自己的合法权益。