电梯停运时，物业应依据以下法律法规履行管理职责并采取相应措施：

1. 《中华人民共和国民法典》第九百四十二条
   物业对建筑物共有部分（包括电梯）负有维修、养护义务。电梯停运时，物业应：

   • 立即组织维修：联系专业电梯维保单位排查故障原因，制定维修方案；
     
   • 采取安全措施：在电梯口设置警示标志，防止业主误入；
     
   • 及时公示信息：向业主通报停运原因、维修进度及预计恢复时间。
     若物业未履行上述义务导致业主损害，需承担侵权责任。

2. 《物业管理条例》第五十五条
   物业需定期公示电梯维护保养情况及费用使用明细。电梯停运后：

   • 紧急维修程序：若需动用专项维修资金，物业应立即向业主委员会提出申请，并经专有部分占建筑物总面积三分之二以上的业主且占总人数三分之二以上的业主同意；
     
   • 临时处理措施：在维修资金未到位前，物业可先行垫付费用，后续通过合法程序追偿。
     若物业未按规定申请或公示，业主可向房管部门投诉。

3. 《特种设备安全法》第四十二条
   电梯作为特种设备，物业需：

   • 立即停用并报告：发现电梯存在严重安全隐患时，应停止使用并报告市场监管部门；
     
   • 配合检验检测：协助特种设备检验机构完成故障调查，不得隐瞒或阻挠。
     违反者可能面临罚款或停业整顿处罚。

实务建议：

• 物业应与电梯维保单位签订长期合同，明确故障响应时限（通常不超过30分钟）；
  
• 建议购买电梯责任保险，转移因停运或事故引发的赔偿风险；
  
• 业主可要求物业定期提供电梯安全检测报告，监督履职情况。
  

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