针对您提出的“常住地派出所发函协商原籍注销户口是否合法”的问题，我们可以从以下几个方面进行详细解答：

首先，我们需要明确的是，户口注销是一个严肃的法律程序，它必须遵循相关的法律法规和政策规定。根据《中华人民共和国户口登记条例》以及相关的户籍管理政策，户口注销通常是在特定情况下进行的，比如公民迁出本户口管辖区、死亡、被宣告失踪或死亡后，或者存在重复、虚假户口等情况。

接下来，我们针对您提到的“常住地派出所发函协商原籍注销户口”这一具体行为进行分析：

1. 发函协商的合法性：

   • 常住地派出所在发现公民存在重复或虚假户口的情况下，有权根据相关法律法规和政策规定，向原籍地派出所发函协商注销户口事宜。这是一种合法的行政行为，旨在维护户籍管理的准确性和公正性。

2. 注销户口的依据：

   • 注销户口的依据通常是公民存在重复或虚假户口的情况。根据《关于进一步妥善处理重复虚假户口的通知》等文件，重复户口是指同一人持有两个或两个以上户口，虚假户口则是指因提供虚假材料或捏造事实取得的户口。对于这类户口，公安机关有权进行注销处理。

3. 注销户口的程序：

   • 在注销户口前，公安机关会进行详细的调查核实工作，确保注销的户口确实是重复或虚假的。如果需要其他单位协助调查，公安机关会发协查函，相关单位应当积极配合。
   • 调查核实后，公安机关会制发《重复（虚假）户口处理告知书》，通知当事人在规定期限内到公安机关办理户口注销手续。
   • 如果当事人未在规定期限内办理注销手续，公安机关将按规定注销重复（虚假）户口，并出具《注销户口证明》给当事人存档备查。

4. 当事人的权利：

   • 当事人如对公安机关注销户口的处理不服，可以在知道或应当知道重复（虚假）户口被注销之日起60日内向注销户口的公安机关的上级公安机关或同级人民政府申请行政复议，或在六个月内依法向同级人民法院提起行政诉讼。

综上所述，常住地派出所发函协商原籍注销户口在符合相关法律法规和政策规定的情况下是合法的。这一行为旨在维护户籍管理的准确性和公正性，确保每个公民只有一个合法有效的户口。如果您对注销户口的处理有异议，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼来维护自己的合法权益。