公司违法解除劳动合同且员工不接受赔偿时，公司应当承担的责任主要包括继续履行劳动合同的责任以及支付赔偿金的责任。以下是对这两种责任的详细分析：
一、继续履行劳动合同的责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。”
适用条件：
- 劳动者明确表示要求继续履行劳动合同。
- 劳动合同在客观上仍然具备继续履行的条件，如原工作岗位未被撤销、公司未破产等。
法律后果：
- 如果公司违法解除劳动合同，且劳动者要求继续履行，公司必须恢复劳动关系，安排劳动者回到原岗位工作，并支付违法解除期间的工资损失（通常按照劳动者原工资标准计算）。
二、支付赔偿金的责任
法律依据：
- 同样根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条及第八十七条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。”
赔偿金计算：
- 经济补偿标准：根据劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 赔偿金数额：经济补偿标准的二倍，即工作年限×月工资×2。例如，劳动者在公司工作3年，月工资为5000元，则赔偿金为3×5000×2=30000元。
适用条件：
- 劳动者不要求继续履行劳动合同。
- 或者劳动合同已经不能继续履行（如原工作岗位已被撤销、公司破产等）。
三、其他可能的责任
- 如果公司的违法行为给劳动者造成了其他损失（如精神损害、名誉损害等），劳动者还可以根据实际情况要求公司承担相应的赔偿责任。不过，这类赔偿通常需要劳动者提供充分的证据来证明其损失的存在及与公司违法行为的因果关系。
四、建议与行动
- 对于劳动者而言：如果公司违法解除劳动合同，且你不接受赔偿，首先应当明确表达要求继续履行劳动合同的意愿。如果公司拒绝，你可以向劳动仲裁机构申请仲裁，要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。
- 在申请仲裁或提起诉讼前：建议劳动者收集并保存好相关证据，如劳动合同、解除劳动合同的通知、工资单、工作记录等，以证明公司的违法行为及自己的损失情况。
总之，公司违法解除劳动合同且员工不接受赔偿时，公司应当承担继续履行劳动合同或支付赔偿金的责任。具体承担哪种责任，取决于劳动者的选择及劳动合同的实际情况。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。