停止违法建设的通知通常由具体负责违法建设监管和处理的部门下达，具体部门根据违法建设的性质、所在地以及相关法律法规来确定。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：
城市规划区内：
- 主要责任部门：城市管理综合行政执法部门（城管执法局）是城市规划区内违法建设的主要监管和执法部门。
- 处理措施：当发现违法建设行为时，城管执法局有权下达停止违法建设的通知，并责令限期拆除或改正。若当事人不执行，城管执法局可进一步采取强制措施，如查封施工现场、强制拆除等。
乡、村庄规划区内：
- 主要责任部门：乡、镇人民政府负责乡、村庄规划区内的违法建设监管和处理。
- 处理措施：乡、镇人民政府在发现违法建设行为时，同样有权下达停止违法建设的通知，并责令限期改正。逾期不改正的，乡、镇人民政府可以组织拆除违法建筑。
涉及土地管理方面：
- 主要责任部门：自然资源主管部门（即土地行政主管部门）负责非法占用土地建设的违法建筑的监管和处理。
- 处理措施：自然资源主管部门在发现非法占用土地进行建设时，会下达停止违法建设的通知，并责令退还非法占用的土地，限期拆除在非法占用的土地上新建的建筑物和其他设施。
特定领域：
- 河道管理范围内：由水行政主管部门依据水法律法规进行处理，下达停止违法建设的通知，并采取相应的处理措施。
- 公路建筑控制区内：由交通运输主管部门或公路管理机构依法处置，同样会下达停止违法建设的通知。
- 其他特定情况：根据违法建筑的具体性质和所在领域，由相应的行业主管部门负责处理，并下达停止违法建设的通知。
法律背景与建议：
- 法律背景：违法建设不仅违反了城乡规划、土地管理等相关法律法规，还可能对公共安全、城市形象等造成不良影响。因此，各部门在发现违法建设行为时，都有权并应当及时下达停止违法建设的通知，以维护法律的尊严和社会的公共利益。
- 法律建议：如果您收到了停止违法建设的通知，应当立即停止建设行为，并积极配合相关部门的调查和处理。若您认为该通知存在错误或不当之处，可以通过合法途径提出异议或申诉。同时，为了避免违法建设行为的发生，建议您在建设前充分了解相关法律法规和规划要求，确保建设行为的合法性和合规性。
可能后果：
- 若您继续违法建设而不理会停止违法建设的通知，相关部门有权采取进一步的强制措施，如查封施工现场、强制拆除等。这些措施可能会给您带来经济损失和法律责任。
- 若您对停止违法建设的通知有异议或申诉，但未能通过合法途径解决，也可能面临法律诉讼和相应的法律责任。
因此，我建议您在收到停止违法建设的通知后，务必认真对待并积极配合相关部门的处理工作。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。