结论：物业服务政府采购合同快到期时，双方是可以协商签订补充协议延期一个月的，但需满足一定条件并遵循相关程序。
分析说明：
合同延期的合法性：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同双方在合同履行过程中，经协商一致，可以变更合同内容，包括合同的履行期限。因此，在物业服务政府采购合同快到期时，双方协商一致并签订补充协议延期一个月，是合法的。
政府采购合同的特殊性：
- 物业服务政府采购合同属于政府采购范畴，除了遵循民法典的一般规定外，还需遵守政府采购的相关法律法规。在延期时，应确保延期行为符合政府采购的政策导向和监管要求，避免出现违规操作。
延期协议的签订程序：
- 双方应就延期事宜进行充分协商，明确延期的期限、条件、费用等关键条款。
- 延期协议应以书面形式签订，并作为原合同的附件或补充协议，具有与原合同同等的法律效力。
- 在签订延期协议前，建议双方对原合同的履行情况进行评估，确保延期不会对双方权益造成不利影响。
可能涉及的法律风险：
- 如果延期协议签订不当或未履行相关程序，可能会引发合同纠纷或行政争议。例如，如果延期未经过政府采购监管部门的批准或备案，可能会面临监管处罚或合同无效的风险。
- 因此，在签订延期协议前，建议双方咨询专业律师或政府采购监管部门，确保延期行为的合法性和合规性。
行动建议：
- 协商一致：双方应就延期事宜进行充分协商，确保达成一致意见。
- 签订书面协议：延期协议应以书面形式签订，并明确延期的期限、条件、费用等关键条款。
- 履行相关程序：根据政府采购的相关法律法规，履行必要的批准或备案程序。
- 咨询专业意见：在签订延期协议前，建议咨询专业律师或政府采购监管部门，确保延期行为的合法性和合规性。
后续思考：
- 在延期协议履行过程中，双方应密切关注合同履行情况，及时沟通解决可能出现的问题。
- 如果延期协议履行过程中出现争议或纠纷，双方应首先通过协商解决；协商不成的，可以依法通过仲裁或诉讼等方式解决。
如有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。