结论：卖淫被行政拘留一般不会留下传统意义上的“案底”，即刑事犯罪记录，但在特定情况下可能对子女产生一定影响。以下从多个角度进行详细分析：
一、关于是否留案底
案底与行政拘留的区别：
- “案底”通常指某人过去犯法或犯罪行为的记录，特指有过刑事犯罪前科的档案记录，由公安部门保存。
- 卖淫行为在我国属于违反治安管理的违法行为，根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第六十六条，卖淫者一般会受到十日以上十五日以下拘留，并可处以五千元以下罚款；情节较轻的，可能面临五日以下拘留或五百元以下罚款。这属于行政处罚范畴，而非刑事处罚。
- 因此，因卖淫被公安机关予以行政拘留的处罚，并不会留下传统意义上的“案底”。
行政拘留记录的可查询性：
- 行政拘留的记录在公安机关的治安管理系统中会有留存，但这些记录并非所有人都能随意查询。
- 这些记录主要供公安机关内部使用，用于治安管理、犯罪预防等目的，不会公开或广泛传播。
二、对子女的影响
一般情况下的无影响：
- 由于行政拘留不属于刑事犯罪记录，因此在大多数情况下，如子女的日常生活、学习、普通工作等，父母的行政拘留记录不会产生直接影响。
- 子女在报考一般公务员岗位、上学等政审环节时，通常只关注直系亲属是否有刑事犯罪记录，因此行政拘留记录不会构成障碍。
特殊情况下的可能影响：
- 征兵：若子女想要参军入伍，征兵的政治审查环节较为严格，对于家庭成员的违法犯罪等不良记录会综合考量。虽然卖淫行政拘留不属于刑事犯罪，但也属于违法记录，可能会导致子女在征兵政审中面临一定困难。
- 考公：在报考公务员、事业单位等体制内岗位时，尤其是涉及国家安全、机要保密、政法等特殊性质的岗位，对报考人员的直系亲属政治情况要求较高。父母的卖淫行政拘留记录可能会在政审环节被纳入考虑范围，进而影响子女的报考结果。
- 特殊职业：对于飞行员、空乘人员、公证员等对从业者道德品质、家庭背景有较高要求的特殊职业，家庭成员的违法记录也可能成为入职审查的影响因素之一。
- 社会舆论与心理影响：如果父母因卖淫等行为被多次处罚或引发社会舆论关注，也可能对子女的心理和社会评价造成一定间接影响，但这种影响更多是基于社会道德和舆论压力，而非法律层面的直接限制。
三、建议与提醒
- 遵守法律法规：卖淫行为不仅违法，还会对个人声誉和家庭关系造成负面影响。建议自觉遵守法律法规，远离违法行为。
- 积极面对处理：如果因卖淫被行政拘留，应积极配合公安机关的调查和处理，并深刻反思自己的行为。
- 关注子女教育：父母应关注子女的成长和教育，引导他们树立正确的价值观和道德观，以减少因个人不良行为对子女未来可能产生的间接影响。
法律依据：
- 《中华人民共和国治安管理处罚法》第六十六条：卖淫、嫖娼的，处十日以上十五日以下拘留，可以并处五千元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。
综上所述，卖淫被行政拘留一般不会留下传统意义上的“案底”，且在大多数情况下不会对子女产生直接影响。然而，在特定情形下仍可能带来一定的政审挑战或社会舆论压力。因此，建议遵守法律法规，为子女的未来创造良好的家庭环境和社会评价。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。