结论：工作时间在单位开的理发店摔伤，在一定条件下可以申请工伤认定，但具体能否认定为工伤，需结合实际情况判断，以下分情况说明：

1. 若理发店属于用人单位业务组成部分
   根据《工伤保险条例》第十四条第（一）项，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。

   • 关键点：需证明摔伤与工作直接相关（如为顾客理发时滑倒、整理工具时受伤等），且理发店属于用人单位的合法经营场所（如单位内部为员工服务的福利性理发店，或单位对外经营但职工受指派从事相关工作）。
     
   • 证据要求：需提供劳动合同、工作安排记录、现场监控、同事证言等，证明事故发生在工作时间、工作场所，且因履行工作职责导致。

2. 若理发店与用人单位无关（如承包、租赁经营）

   • 若理发店由第三方承包经营，职工与用人单位仍存在劳动关系，但实际工作由承包方安排，则需区分责任主体：
     
     • 若摔伤因用人单位设施缺陷导致（如单位提供的场地存在安全隐患），可依据《民法典》第一千一百九十八条要求用人单位承担侵权责任，同时可能符合工伤认定条件（需证明用人单位对场地有管理义务）。
       
     • 若摔伤因承包方管理问题导致（如理发店内部湿滑未清理），则可能需向承包方主张侵权赔偿，工伤认定需结合职工是否受用人单位指派在理发店工作。
       
   • 关键点：需明确用人单位与理发店的实际关系（如是否签订承包合同、职工工资由谁发放等），以确定责任主体。

3. 特殊情形：职工违反操作规程或故意行为
   若摔伤因职工自身故意（如嬉闹、违规操作）导致，根据《工伤保险条例》第十六条，不得认定为工伤；若因过失（如未注意安全）导致，仍可能符合工伤认定条件。

建议行动：

1. 立即向用人单位报告事故，要求单位在30日内申请工伤认定；若单位拒绝，职工或近亲属可在1年内直接向社保部门申请。
   
2. 收集证据：包括事故现场照片、医疗记录、工作证明、证人证言等，以支持工伤认定申请。
   
3. 若涉及第三方责任（如承包方），可同步考虑侵权赔偿诉讼，但需注意工伤赔偿与侵权赔偿的竞合问题（部分地区支持“双赔”，部分地区按补差原则处理）。

如有进一步细节（如理发店经营模式、摔伤具体原因等），可提供更多信息以便更精准分析。