结论：满56岁公司降职降薪后，是否需要签劳动合同，取决于原劳动合同的到期情况以及双方协商的结果。以下分情况详细说明：

1. 原劳动合同未到期：

   • 法律背景：根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同一旦签订，即具有法律效力，双方应严格按照合同约定履行各自的义务。在劳动合同有效期内，公司单方面降职降薪属于变更劳动合同内容的行为，需要与劳动者协商一致，并签订书面的变更协议。
   • 法律建议：如果公司未与您协商一致就擅自降职降薪，您有权拒绝，并可以要求公司按照原劳动合同的约定继续履行。如果公司坚持降职降薪，您可以向劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
   • 是否需要签新合同：在这种情况下，您不需要签订新的劳动合同，因为原劳动合同仍然有效。如果公司要求您签订新的劳动合同以确认降职降薪，这实际上是变更劳动合同内容，需要您同意并签订书面的变更协议。

2. 原劳动合同已到期：

   • 法律背景：劳动合同到期后，双方可以协商续签劳动合同。如果公司提出降职降薪的条件来续签劳动合同，这实际上是一个新的要约，需要您同意才能成立。
   • 法律建议：在原劳动合同到期的情况下，您有权根据自己的意愿和公司的条件来决定是否续签劳动合同。如果您不同意降职降薪的条件，可以选择不续签，并寻求其他就业机会。如果您同意降职降薪的条件，那么双方可以签订新的劳动合同。
   • 是否需要签新合同：在这种情况下，如果双方就降职降薪达成一致，那么需要签订新的劳动合同来确认双方的权利和义务。

额外建议：

• 在面对公司降职降薪的情况时，建议您首先与公司进行沟通协商，了解公司降职降薪的具体原因和依据。
• 如果公司无法提供合理的解释和依据，或者您认为公司的行为违反了法律法规和劳动合同的约定，您可以向劳动监察部门投诉或者申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
• 在整个过程中，建议您保留好相关的证据材料，如劳动合同、工资单、降职降薪的通知等，以便在需要时提供证明。

可能法律后果：

• 如果公司未经您同意擅自降职降薪，且您拒绝接受并采取了相应的法律措施，公司可能面临劳动监察部门的处罚或者劳动仲裁的败诉风险。
• 如果您同意了公司的降职降薪条件并签订了新的劳动合同或者变更协议，那么双方应按照新的约定履行各自的义务。如果您后续反悔或者违反新的约定，可能需要承担相应的法律责任。

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