在劳动仲裁案件中，劳动者可以授权给以下人员代为处理相关事务：
近亲属：
- 劳动者可以授权其近亲属（如配偶、父母、子女等）代为参加仲裁活动。近亲属作为劳动者的直系血亲或具有亲密关系的人，通常能够较好地代表劳动者的利益，并在仲裁过程中提供必要的支持和协助。
律师：
- 劳动者有权委托律师作为其代理人参加仲裁。律师具备专业的法律知识和丰富的实践经验，能够为劳动者提供全面的法律服务，包括准备仲裁材料、提出仲裁请求、参与庭审辩论等。委托律师代理可以大大提高劳动者在仲裁中的胜诉几率。
基层法律服务工作者：
- 在某些地区，基层法律服务工作者也可以接受劳动者的委托，代为参加仲裁活动。他们虽然不像律师那样具备全面的法律知识，但在处理一些简单的劳动纠纷时，也能提供有效的法律帮助。
劳动者所在的社区、单位以及有关社会团体推荐的公民：
- 除了近亲属和律师外，劳动者还可以委托其所在的社区、单位或有关社会团体推荐的公民作为其代理人。这些推荐的公民通常与劳动者有一定的联系或了解，能够在一定程度上代表劳动者的利益，并在仲裁过程中提供必要的协助。
授权时需要注意的事项：
- 授权委托书：无论授权给谁，劳动者都需要出具一份授权委托书，明确代理人的姓名、代理事项、代理权限和代理期限等。授权委托书是代理人参加仲裁活动的法律依据，必须真实、合法、有效。
- 代理权限：劳动者在授权时，应明确代理人的代理权限。代理人只能在授权范围内行使权利、履行义务，超出授权范围的行为将不被认可。
- 及时沟通：劳动者应与代理人保持密切联系，及时了解仲裁进展情况，并根据需要提供必要的协助和支持。
若劳动者未授权或授权不当可能产生的后果：
- 仲裁程序受阻：如果劳动者未授权或授权不当，可能导致代理人无法顺利参加仲裁活动，进而影响仲裁程序的顺利进行。
- 利益受损：缺乏专业代理人的协助，劳动者可能在仲裁过程中处于不利地位，导致自身利益受损。
建议：
- 谨慎选择代理人：劳动者在选择代理人时，应综合考虑代理人的专业能力、经验、信誉等因素，确保选择到合适的代理人。
- 明确授权范围：在授权时，劳动者应明确代理人的代理权限和代理期限，避免出现授权不清或授权过期的情况。
- 及时咨询专业律师：如果劳动者对仲裁程序或授权问题存在疑问，应及时咨询专业律师，以获取准确的法律意见和帮助。
如有任何关于劳动仲裁或授权问题的疑问，请直接向我咨询。