结论：针对拖欠监理费且甲方不解除合同，监理公司无法垫付的情况，监理公司可以通过协商、发送催告函、提起诉讼或申请仲裁以及行使留置权等多种方式来解决这一问题。

详细分析：

1. 协商解决：

   • 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同双方应当遵循诚实信用原则，按照约定履行自己的义务。当一方未按照约定支付费用时，另一方有权要求其支付。
   • 建议：监理公司可以首先尝试与甲方进行友好协商，明确表达监理费拖欠的事实，以及监理公司因无法垫付而面临的困境。通过协商，双方可以达成一个合理的支付计划或解决方案。

2. 发送催告函：

   • 法律背景：在协商无果的情况下，监理公司可以向甲方发送催告函，要求其在一定期限内支付拖欠的监理费。催告函应明确列出拖欠的金额、支付期限以及逾期支付的后果。
   • 建议：发送催告函是一种正式且有效的催款方式，可以表明监理公司的严肃态度，并给甲方一定的压力，促使其尽快支付费用。

3. 提起诉讼或申请仲裁：

   • 法律背景：如果甲方在催告函规定的期限内仍未支付监理费，监理公司可以根据合同中的仲裁条款或双方达成的仲裁协议，向约定的仲裁机构申请仲裁；如果没有仲裁条款或仲裁协议，监理公司可以直接向人民法院提起诉讼。
   • 建议：在提起诉讼或申请仲裁前，监理公司应收集好相关证据，如合同、监理记录、催告函等，以证明甲方拖欠监理费的事实。同时，监理公司应咨询专业律师，了解诉讼或仲裁的具体流程和可能的结果，以便做出更明智的决策。

4. 行使留置权：

   • 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，如果监理公司因甲方拖欠监理费而合法占有了甲方的财产（如工程资料、设备等），且该财产与监理费有直接关联，监理公司有权行使留置权，即拒绝返还该财产直至甲方支付监理费。
   • 建议：行使留置权是一种较为强硬的手段，应谨慎使用。监理公司应确保自己合法占有了甲方的财产，并且该财产与监理费有直接关联。同时，监理公司应咨询专业律师，了解行使留置权的具体条件和程序，以避免因不当行使留置权而引发新的法律纠纷。

后续行动建议：

• 在采取任何行动之前，监理公司应仔细审查合同条款，了解双方的权利和义务，以及违约责任和争议解决方式。
• 监理公司应保留好所有与监理费支付相关的证据，如合同、发票、监理记录、催告函等，以备不时之需。
• 如果监理公司对法律程序不熟悉或担心自己无法有效处理此事，可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到充分保护。

可能法律后果：

• 如果甲方被判决或裁决支付监理费，但拒不履行，监理公司可以申请强制执行，法院将依法对甲方的财产进行查封、扣押或拍卖等措施，以强制其履行支付义务。
• 如果监理公司不当行使留置权或采取其他违法手段追讨监理费，可能会面临法律责任，如赔偿甲方因此遭受的损失等。

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