结论：面对顾客因被烫伤而要求高额赔偿的情况，您首先需要明确赔偿的合理范围，并考虑通过协商、调解或诉讼等途径解决纠纷。以下是从不同角度给出的详细分析和建议：
一、赔偿范围的确定
医疗费用：您已经为顾客购买了药品并陪同其就医，这部分费用是合理的赔偿范围。但顾客后续可能产生的医疗费用，如复诊、康复等，若与烫伤直接相关，也应纳入赔偿考虑。
误工费：如果顾客因烫伤导致无法工作，产生了误工损失，这部分费用也应根据实际情况进行赔偿。误工费的计算通常基于顾客的收入状况和误工时间。
护理费：若顾客烫伤严重，需要专人护理，那么护理费用也应纳入赔偿范围。护理费用的计算通常根据护理人员的收入状况和护理时间来确定。
精神损害赔偿：如果烫伤给顾客造成了严重的精神损害，如疼痛、恐惧、焦虑等，顾客有权要求精神损害赔偿。但精神损害赔偿的数额通常较难确定，需要综合考虑多种因素，如烫伤的严重程度、对顾客生活的影响等。
二、解决纠纷的途径
协商：您可以与顾客进行协商，就赔偿金额和方式达成一致。协商时，您可以根据上述赔偿范围，结合实际情况，提出一个合理的赔偿方案。如果顾客同意，双方可以签订书面协议，明确赔偿金额和支付方式。
调解：如果协商不成，您可以考虑通过调解来解决纠纷。调解可以由第三方机构或个人主持，如消费者协会、人民调解委员会等。调解过程中，调解员会听取双方的意见和诉求，提出调解方案，并促使双方达成一致。
诉讼：如果调解也不成，或者顾客坚持要求不合理的赔偿金额，您可以考虑通过诉讼来解决纠纷。在诉讼过程中，法院会根据事实和法律规定，判决您应承担的赔偿责任。但诉讼过程可能较为漫长，且需要支付一定的诉讼费用，因此您需要谨慎考虑。
三、法律建议
保留证据：在处理此类纠纷时，保留相关证据至关重要。您应保留购买药品的发票、就医的病历和费用清单、与顾客的沟通记录等，以证明您的赔偿行为是合理的，并作为后续协商、调解或诉讼的依据。
寻求专业帮助：如果您对赔偿范围或解决纠纷的途径存在疑问，或者顾客的要求超出了您的承受能力，您可以寻求专业律师的帮助。律师可以根据您的具体情况，提供法律意见和解决方案，帮助您更好地应对纠纷。
注意态度：在处理此类纠纷时，保持冷静和理性的态度至关重要。您应尊重顾客的权益和诉求，同时坚持自己的合理立场，通过合法途径解决纠纷。
最后，面对顾客因被烫伤而要求高额赔偿的情况，您需要明确赔偿的合理范围，并考虑通过协商、调解或诉讼等途径解决纠纷。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。