结论前置：当员工与公司已连续签订两次固定期限劳动合同，且公司提出在第二次续签后不续签时，员工有权根据相关法律法规要求公司支付经济补偿或赔偿金。具体赔偿金额依据员工在公司的工作年限和工资水平确定。

详细分析：

1. 经济补偿的支付标准与情形：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
   • 月工资指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。

2. 赔偿金的支付情形：

   • 如果员工符合签订无固定期限劳动合同的条件（如连续订立二次固定期限劳动合同，且没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形），而公司拒绝续签，这种行为可能构成违法终止劳动合同。
   • 在此情况下，员工可以主张赔偿金，赔偿金为经济补偿标准的二倍。即，如果经济补偿为N个月工资，则赔偿金为2N个月工资。

3. 具体计算示例：

   • 假设员工小张在公司工作了5年，劳动合同第二次到期后公司决定不续签，小张劳动合同解除前十二个月的平均工资为10000元。
   • 若公司正常不续签，且小张不符合签订无固定期限劳动合同的条件，则公司应支付给小张的经济补偿金额为5×10000=50000元。
   • 若小张符合签订无固定期限劳动合同的条件，且公司拒绝续签被认定为违法终止劳动合同，则公司应支付的赔偿金为100000元（即经济补偿标准的二倍）。

4. 维权途径：

   • 与公司协商：员工可以与公司人力资源部门或上级领导沟通，指出公司不续签可能违法，并要求经济补偿或赔偿金。
   • 向劳动监察部门投诉：若协商无果，员工可以向当地劳动监察部门投诉，劳动监察部门会调查事实，并责令公司支付经济补偿。
   • 申请劳动仲裁：员工还可以向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付经济补偿或赔偿金。
   • 司法救济途径：如果员工对仲裁裁决结果不满意，可以在收到裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。

总结与建议：面对公司不续签劳动合同的情况，员工应首先确认自己的合法权益，包括是否符合签订无固定期限劳动合同的条件。然后，通过与公司协商、向劳动监察部门投诉、申请劳动仲裁或提起诉讼等途径，寻求经济补偿或赔偿金。在整个过程中，员工应保持冷静理性，注重证据收集，确保自身权益得到有效维护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。