宪法宣誓的组织部门根据宣誓主体的不同而有所区别，具体如下：
国家工作人员就职时宪法宣誓的组织：
- 根据《全国人民代表大会常务委员会关于实行宪法宣誓制度的决定》的相关规定，各级人民代表大会及县级以上各级人民代表大会常务委员会选举或者决定任命的国家工作人员，以及各级人民政府、监察委员会、人民法院、人民检察院任命的国家工作人员，在就职时应当公开进行宪法宣誓。
- 宣誓仪式由任命机关组织。例如，全国人民代表大会选举或者决定任命的中华人民共和国主席、副主席，全国人民代表大会常务委员会委员长、副委员长、秘书长、委员，国务院总理、副总理、国务委员、各部部长、各委员会主任、审计长、秘书长等，其宪法宣誓仪式由全国人民代表大会会议主席团组织；而县级以上地方各级人民代表大会选举的本级人民政府其他组成人员，其宪法宣誓仪式则由本级人民代表大会常务委员会主任会议组织。
特定情况下宪法宣誓的组织：
- 在某些特定情况下，如乡、民族乡、镇的人民代表大会主席、副主席，乡长、副乡长，镇长、副镇长，以及县级以上地方各级人民政府监察委员会主任、人民法院院长、人民检察院检察长的宪法宣誓仪式，可能由相应的本级人民代表大会会议主席团或本级人民代表大会常务委员会主任会议组织，具体取决于宣誓主体的产生方式和任命程序。
法律背景与建议：
- 宪法宣誓制度是国家工作人员履行职责前的重要法律程序，旨在增强其宪法意识、责任意识和公仆意识。
- 对于国家工作人员而言，参与宪法宣誓不仅是一种荣誉，更是一份沉甸甸的责任。它要求宣誓人必须忠于中华人民共和国宪法，维护宪法权威，履行法定职责，接受人民监督。
- 如果您或您身边的人即将参与宪法宣誓仪式，或者对宪法宣誓制度有任何疑问，欢迎直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供详细的法律解释和专业的建议。