结论前置：随身携带斧头是否犯法，需根据具体情况判断。若斧头被认定为管制器具，且非法携带进入公共场所或公共交通工具，或用于违法犯罪活动，则属于违法行为。
详细分析如下：
斧头的法律属性：
- 斧头本身并非法律明确列举的管制器具，如匕首、三棱刀等。然而，如果斧头的尺寸、形状或用途符合特定标准，可能被认定为“其他符合特定标准认定的单刃、双刃、三棱尖刀等”，从而被视为管制器具。这通常取决于斧头的具体设计、尺寸以及是否具备攻击性特征。
携带斧头的合法性判断：
- 私人场所携带：在私人场所（如家中、私人工作室等）携带斧头，通常不构成违法，因为这不涉及公共安全。
- 公共场所携带：若携带斧头进入公共场所（如学校、商场、公园等）或公共交通工具（如公交车、地铁、火车等），且斧头被认定为管制器具，则属于违法行为。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第三十二条，非法携带管制器具进入公共场所或公共交通工具的，可能面临五日以上十日以下拘留，并可以并处五百元以下罚款。
- 携带目的与情境：携带斧头的目的也是判断合法性的重要因素。如果出于合法目的，如工作需要（如木工、消防员等），且采取了妥善保管措施，未进入禁止携带区域，通常可免于处罚。但如果出于寻衅滋事、故意伤害等非法目的携带斧头，则可能面临更严厉的法律制裁，包括刑事处罚。
法律处罚的差异性：
- 对于非法携带斧头的行为，处罚程度会结合具体携带情形、主观意图、是否造成实际危害后果等多方面因素综合判断。如果斧头未被认定为管制器具，或者携带行为未对公共安全造成威胁，可能仅受到警告或轻微罚款。但如果斧头被认定为管制器具，且携带行为对公共安全构成了严重威胁，则可能面临更严厉的处罚。
建议与提醒：
- 为了自身和他人的安全，建议遵守相关法律法规，不携带可能被视为管制器具的斧头进入公共场所或用于非法活动。
- 如果因工作需要必须携带斧头，请确保斧头符合安全标准，并采取妥善保管措施，避免对公共安全造成威胁。
- 如果您对斧头的法律属性或携带合法性有疑问，或者面临相关法律问题，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律意见。
总结：随身携带斧头是否犯法，取决于斧头的法律属性、携带场所、携带目的以及是否对公共安全造成威胁等多方面因素。为了确保自身行为的合法性，建议遵守相关法律法规，并在有疑问时及时咨询专业律师。