结论：在欠债人死亡且存在担保人的情况下，若欠债人生前有父母留下来的遗产，银行通常会先向担保人追偿，同时也有权在遗产范围内主张债权。具体处理方式需根据遗产是否已分割、担保类型等因素来确定。

详细分析：

1. 担保人的责任：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，担保人在债务人无法履行债务时，需承担担保责任。这意味着，在欠债人死亡后，银行有权直接向担保人追偿贷款本金及利息。
   • 担保人的责任范围取决于担保合同的约定。如果担保合同中明确约定了担保范围包括贷款本金、利息、违约金等，则担保人需承担相应范围内的责任。

2. 遗产的处理：

   • 欠债人死亡后，其遗产将按照法定继承或遗嘱继承的方式进行分配。在遗产分配前，银行有权在遗产范围内主张债权。
   • 如果遗产尚未分割，银行可以向法院申请财产保全，冻结遗产中的相关资产，以确保债权的实现。
   • 如果遗产已经分割，银行可以向各继承人主张债权，但需注意继承人的责任范围仅限于其继承的遗产份额。

3. 银行追偿的顺序：

   • 银行通常会先向担保人追偿，因为担保合同是直接约束担保人和银行的法律文件，且担保人的责任相对明确。
   • 在担保人无法完全履行担保责任或担保责任履行完毕后仍有未清偿的债务时，银行可以向欠债人的遗产主张债权。

4. 特殊情况的处理：

   • 如果担保人也是欠债人的继承人之一，且继承了欠债人的遗产，那么担保人在承担担保责任的同时，其继承的遗产份额也可能被用于清偿债务。
   • 如果欠债人的遗产不足以清偿全部债务，银行可能只能获得部分清偿。此时，银行需根据法律规定和实际情况，与各继承人协商处理剩余债务。

法律建议：

• 对于银行而言，在欠债人死亡后，应及时向担保人发出追偿通知，并了解欠债人的遗产情况。如有必要，可以向法院申请财产保全或提起诉讼，以确保债权的实现。
• 对于担保人而言，应了解自己的担保责任范围，并在欠债人死亡后积极与银行沟通，协商处理债务清偿事宜。如认为自己的权益受到侵害，可以寻求法律援助或提起诉讼。
• 对于欠债人的继承人而言，应了解自己的继承责任范围，并在继承遗产后积极与银行沟通，协商处理债务清偿事宜。如认为遗产不足以清偿全部债务或存在其他争议，可以寻求法律援助或提起诉讼。

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