结论：儿童在路上跑被狗绳绊倒的责任归属需根据具体情况判断，可能涉及狗主人、儿童监护人或第三方责任。以下从不同角度进行分析：

1. 狗主人的责任

• 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千二百四十六条，违反管理规定，未对动物采取安全措施造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任。若狗主人未合理控制狗绳长度（如过长导致绊倒儿童），或未在公共场所采取必要安全措施（如未牵绳、未佩戴嘴套），可能被认定为未尽到管理义务，需承担主要或全部责任。
• 关键点：需证明狗主人存在过错（如狗绳过长、未牵绳等），且该过错与儿童摔倒存在直接因果关系。

2. 儿童监护人的责任

• 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第三十四条，监护人的职责是代理被监护人实施民事法律行为，保护被监护人的人身权利、财产权利以及其他合法权益等。若儿童因监护人未尽到监护职责（如放任儿童独自在道路奔跑、未及时制止危险行为）导致摔倒，监护人可能需承担部分或全部责任。
• 关键点：需证明监护人存在疏忽或过失，且该疏忽与儿童摔倒存在因果关系。例如，若儿童在无人看护的情况下突然冲向狗绳，监护人可能需承担一定责任。

3. 第三方责任（如存在）

• 特殊情况：若摔倒系因第三方行为导致（如他人故意拉扯狗绳、道路设计缺陷等），第三方可能需承担相应责任。但此类情况需具体证据支持，实践中较少见。

4. 责任划分原则

• 过错相抵原则：若双方均存在过错（如狗主人未牵绳且儿童突然奔跑），法院可能根据双方过错程度划分责任比例。例如，狗主人承担70%责任，监护人承担30%责任。
• 举证责任：受害方（儿童监护人）需证明狗主人存在过错（如狗绳过长、未牵绳等），以及该过错与损害结果之间的因果关系。狗主人若主张免责，需提供证据证明已尽到管理义务（如狗绳长度合理、儿童主动碰撞等）。

建议

1. 现场处理：立即固定证据（如拍照、录像、寻找目击证人），记录狗主人信息及狗绳状态（如长度、是否牵绳）。
2. 协商解决：与狗主人协商赔偿事宜，明确责任归属及赔偿金额。
3. 法律途径：若协商无果，可向法院起诉，要求狗主人承担侵权责任。诉讼中需提供证据证明狗主人过错及损害结果（如医疗费、护理费等）。

如有进一步疑问或需具体法律帮助，可直接向我咨询。