核心结论：工作半个月没签劳动合同被辞退，您有权要求用人单位支付半个月工资作为违法解除劳动合同的赔偿金，同时，您还可以主张自用工之日起第二个月开始至实际用工结束之日止的双倍工资差额（但鉴于您仅工作半个月，此部分主要体现为对未签合同事实的确认及潜在主张权利，实际计算可能因具体情况略有调整，但核心是确认用人单位违法未签合同的事实）。

详细解释：

1. 违法解除劳动合同的赔偿金：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，且应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。若用人单位未依法与劳动者签订书面劳动合同，并违法解除劳动合同的，劳动者有权要求用人单位支付赔偿金。
   • 在您的情况下，虽然仅工作半个月，但用人单位未与您签订书面劳动合同且违法解除了劳动关系，因此，您有权要求用人单位支付相当于半个月工资的赔偿金（因您实际工作时间较短，赔偿金计算基数通常为您实际工作的工资水平）。

2. 未签订书面劳动合同的双倍工资差额：

   • 同样依据《中华人民共和国劳动合同法》，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 在您的情况下，虽然仅工作了半个月，未满一个月，但此条款的设立旨在保护劳动者免受用人单位未签合同之害。实际上，由于您未工作满一个月，直接主张双倍工资差额可能不直接适用（因为差额计算通常从第二个月开始），但重要的是，您应明确用人单位未签合同的行为是违法的，且在未来的劳动争议中，这一事实可能作为您主张其他权利（如经济补偿、赔偿金等）的辅助证据。不过，从严格法律条文执行的角度，对于未满一个月的情况，更侧重于确认用人单位的违法事实，并为其后续可能的违法行为（如继续不签合同）设定法律后果。但在此情境下，您可主要主张违法解除的赔偿金，并指出用人单位未签合同的违法行为。

建议行动：

• 首先，与用人单位协商，要求支付违法解除劳动合同的赔偿金，并指出其未签订书面劳动合同的违法行为。
• 若协商无果，您可以向当地劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
• 在整个过程中，保留好与用人单位的沟通记录、工作证明、工资单等证据，以便在需要时提供证明。

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