结论：对方骗取1000元以上的行为，可能构成诈骗罪，具体是否构成犯罪以及犯罪的严重程度，还需结合诈骗的手段、情节以及造成的后果等因素综合判断。

详细分析：

1. 诈骗罪的构成要件：

   • 诈骗罪是指以非法占有为目的，使用欺骗方法，骗取数额较大的公私财物的行为。
   • 构成诈骗罪需要满足四个要件：一是行为人具有非法占有的目的；二是使用了欺骗方法；三是骗取了数额较大的公私财物；四是行为人达到了刑事责任年龄，具有刑事责任能力。

2. 数额标准：

   • 根据《中华人民共和国刑法》及相关司法解释，诈骗公私财物，数额较大的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金。这里的“数额较大”，一般指的是诈骗公私财物价值三千元至一万元以上（具体数额标准可能因地区而异，需参照当地司法解释）。但需要注意的是，即使诈骗金额未达到“数额较大”的标准，如果诈骗手段恶劣、情节严重或者造成严重后果的，也可能构成犯罪。
   • 在您提到的情况中，对方骗取了1000元以上，虽然这个金额可能未达到某些地区“数额较大”的起点，但如果诈骗手段恶劣、多次诈骗或者造成被害人严重损失等情节，仍有可能构成诈骗罪或其他相关犯罪。

3. 其他相关因素：

   • 除了诈骗金额外，诈骗的手段、情节以及造成的后果也是判断是否构成犯罪的重要因素。例如，如果诈骗行为涉及多人、多次或者利用特殊身份进行诈骗，都可能加重行为的违法性。
   • 如果诈骗行为同时触犯了其他罪名，如信用卡诈骗罪、合同诈骗罪等，将按照重罪进行处罚。

4. 法律建议：

   • 如果您或他人遭遇了诈骗行为，建议立即报警并保留好相关证据，如聊天记录、转账记录等，以便警方进行调查。
   • 同时，也可以咨询专业律师，了解具体的法律程序和维权途径。律师可以根据您的具体情况，提供针对性的法律建议和帮助。

总结：对方骗取1000元以上的行为，虽然可能未达到某些地区诈骗罪“数额较大”的起点，但具体是否构成犯罪还需结合诈骗的手段、情节以及造成的后果等因素综合判断。如果您或他人遭遇了此类情况，建议及时报警并咨询专业律师。