结论是：在起诉对方赔偿后，若原告死亡，其赔偿请求权可以由其继承人继承并继续追诉，但具体情形需根据案件进展和法律规定来判断。以下从不同角度为您详细分析：
一、赔偿请求权的继承性
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，被侵权人死亡的，其近亲属有权请求侵权人承担侵权责任。这表明，在侵权纠纷中，若被侵权人死亡，其赔偿请求权可以由其近亲属继承。
继承范围：
- 赔偿请求权的继承范围通常包括被侵权人的配偶、子女、父母等第一顺序继承人。若第一顺序继承人不存在或放弃继承，则由第二顺序继承人（如兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）继承。
二、案件进展对追诉的影响
诉讼中原告死亡：
- 若在诉讼过程中原告死亡，且其赔偿请求权属于可继承的财产性权利，那么其继承人可以申请参加诉讼，继续追诉赔偿。此时，法院会依法变更诉讼主体，由继承人作为原告继续诉讼。
诉讼前原告死亡：
- 若在起诉前原告已经死亡，那么其继承人可以直接以自己的名义提起诉讼，要求侵权人承担赔偿责任。在这种情况下，继承人需要准备相关证据，证明被侵权人的死亡与侵权行为之间的因果关系，以及赔偿的具体范围和标准。
三、特殊情况下的处理
赔偿请求权非财产性：
- 若赔偿请求权涉及非财产性利益（如名誉权、隐私权等），且这些权利不能由继承人继承，那么继承人可能无法继续追诉赔偿。但在此类侵权纠纷中，通常可以通过其他方式（如赔礼道歉、恢复名誉等）来寻求救济。
继承人放弃继承：
- 若继承人明确表示放弃继承赔偿请求权，那么该权利将无人行使，侵权人可能无需承担赔偿责任。但在此情况下，若存在其他继承人且未放弃继承，则仍可由其他继承人继续追诉。
四、实际操作建议
收集证据：
- 继承人应尽快收集与侵权行为、被侵权人死亡以及赔偿范围相关的证据，以便在诉讼中证明自己的主张。
咨询专业律师：
- 由于侵权纠纷和继承问题可能涉及复杂的法律关系和证据收集，建议继承人咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和指导。
及时行使权利：
- 继承人应在知道或应当知道被侵权人死亡以及赔偿请求权可继承的事实后，及时行使权利，避免因超过诉讼时效而丧失胜诉权。
最后需要强调的是，每个案件的具体情况都有所不同，因此在处理此类问题时，应充分考虑案件的具体情况和相关法律规定。如果您或您的家人遇到类似情况，建议直接向我咨询，以便获得更具体、更专业的法律建议。