结论：房子到期后只续租一个月，建议签订书面合同，但若双方协商一致不签，口头约定并保留证据也可，不过存在一定风险。以下从不同角度详细分析：

签订书面合同的情况

1. 法律依据与优势
   • 根据《中华人民共和国民法典》第七百零七条规定，租赁期限六个月以上的，应当采用书面形式。当事人未采用书面形式，无法确定租赁期限的，视为不定期租赁。虽然你只续租一个月，不属于必须签订书面合同的情形，但签订书面合同能明确双方的权利义务，比如租金支付方式、房屋维修责任、提前解约的条件等。
   • 例如，如果在续租期间房屋出现漏水等问题，书面合同中可以明确约定维修责任由哪方承担，避免双方产生争议。如果没有书面合同，双方可能各执一词，难以确定责任归属。
2. 合同内容要点
   • 合同中应明确续租的期限为一个月，从原租赁合同到期日的次日起算。
   • 明确租金金额及支付方式，比如是现金支付还是银行转账，支付时间等。
   • 约定房屋的使用规则，如是否可以转租、是否可以进行装修等。
   • 规定违约责任，如果一方违反合同约定，应承担怎样的赔偿责任。

不签订书面合同的情况

1. 口头约定的效力
   • 如果双方协商一致，不签订书面合同，仅进行口头约定也是有效的。根据《中华人民共和国民法典》第四百六十九条规定，当事人订立合同，可以采用书面形式、口头形式或者其他形式。
   • 但是，口头约定的证明难度较大。一旦发生纠纷，需要提供充分的证据来证明双方存在租赁关系以及具体的租赁条款。例如，可以通过聊天记录、通话录音等方式来证明双方就续租一个月、租金金额等事项达成了一致。
2. 可能存在的风险
   • 租金纠纷：如果没有书面合同明确租金金额和支付方式，出租人可能随意提高租金，或者承租人可能拖延支付租金，双方容易产生争议。
   • 房屋使用纠纷：对于房屋的使用规则，如是否可以养宠物、是否可以进行商业活动等，如果没有书面约定，双方可能因理解不同而产生矛盾。
   • 提前解约纠纷：如果在续租期间，一方需要提前解约，由于没有书面合同约定解约条件和违约责任，可能会给对方造成损失，且难以确定赔偿责任。

特殊情况处理

如果出租人不同意续租一个月或者对续租条件提出不合理要求，承租人可以考虑以下几种方式：

1. 与出租人协商：尝试与出租人沟通，说明自己的需求和困难，争取达成一个双方都能接受的续租方案。
2. 寻找其他房源：如果无法与出租人达成一致，承租人可以提前寻找其他合适的房源，避免因续租问题影响自己的居住。

总之，为了保障自己的合法权益，减少不必要的纠纷，建议尽量签订书面续租合同。如果确实无法签订书面合同，也要注意保留好相关证据。如果你在房产租赁方面还有其他问题，可以直接向我咨询。