在房子续租一个月的情况下，虽然法律并未强制要求必须重新签订合同，但为了明确双方的权利义务、避免潜在纠纷，并保障租赁关系的稳定性，建议租赁双方重新签订书面租赁合同或补充协议。

详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，租赁期限届满后，若承租人继续使用租赁物且出租人未提出异议，原租赁合同继续有效，租赁期限变为不定期。这表明法律允许在不重新签订合同的情况下续租，但租赁关系将更为灵活和不确定。

2. 重新签合同的必要性：

   • 明确权利义务：重新签订书面合同可以详细约定续租期间的租金、支付方式、租赁期限、维修责任等关键条款，确保双方权利义务清晰明了。
   • 避免纠纷：原合同条款可能因时间推移而不再完全适用，重新签约可以规避因条款不明确或过时而引发的争议。
   • 稳定性保障：不定期租赁关系中，双方可随时解除合同，增加了不确定性。重新签约可以提供更稳定的租赁环境，减少因合同解除而带来的不便和损失。

3. 不重新签合同的风险：

   • 在不定期租赁关系中，双方虽然享有更大的灵活性，但同时也承担了更高的风险。例如，出租人可能随时要求收回房屋，承租人则需要提前寻找新的住处。
   • 若不重新签合同，原合同中的某些条款可能不再适用或存在歧义，导致双方在发生争议时难以达成共识。

4. 实践操作建议：

   • 在续租时，建议双方坐下来协商并重新签订一份书面的租赁合同或补充协议。这不仅可以明确双方的权利义务，还能在发生争议时提供明确的法律依据。
   • 如果双方对续租事宜没有异议且愿意继续执行原合同条款，也可以考虑在原合同上注明续租期限和租金等关键信息，并由双方确认签字或盖章。但这种方式应谨慎使用，并确保所有关键信息都得到明确和无误的表述。

综上所述，虽然法律未强制要求在房子续租一个月时必须重新签订合同，但从维护双方权益、减少纠纷的角度出发，重新签订一份详尽的书面租赁合同或补充协议是极为必要的。