结论：在符合法律规定的特定情形下，公司辞退员工可以不支付经济补偿或赔偿金。以下是具体情形及解释：

一、劳动者自身原因导致的辞退

1. 试用期不符合录用条件

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第一项规定，劳动者在试用期间被证明不符合录用条件的，用人单位可以解除劳动合同且无需赔偿。
   • 关键点：公司需有明确的录用标准、考核流程及证据支持，如试用期考核不合格记录等。例如，若公司招聘时明确要求员工需具备某项技能，而员工在试用期内无法展示该技能，且经培训后仍无法达到要求，公司可依法辞退且不支付赔偿。

2. 严重违反规章制度

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第二项规定，劳动者严重违反用人单位规章制度的，用人单位可解除合同。
   • 关键点：规章制度需合法制定并公示，违纪行为需达到“严重”程度，如多次旷工、泄露商业秘密等。例如，若公司规定员工不得在工作时间内进行与工作无关的活动，而员工多次违反且经警告后仍不改正，公司可依法辞退且不支付赔偿。

3. 失职或营私舞弊造成重大损害

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第三项规定，因劳动者失职或营私舞弊导致单位重大损失的，可解除合同。
   • 关键点：公司需提供损失金额证明（如财务审计报告）及因果关系证据（如操作失误记录）。例如，若员工因疏忽导致公司遭受重大经济损失，且该损失与员工的失职行为有直接因果关系，公司可依法辞退且不支付赔偿。

4. 双重劳动关系影响本职工作

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第四项规定，劳动者同时与其他单位建立劳动关系且拒不改正的，可解除合同。
   • 关键点：公司需提供兼职协议、考勤冲突记录等证据，且需书面通知整改。例如，若员工在未告知公司的情况下兼职，导致无法按时完成本职工作，且经公司书面通知后仍拒不改正，公司可依法辞退且不支付赔偿。

5. 欺诈胁迫订立合同

   • 法律依据：《劳动合同法》第二十六条规定，以欺诈手段使对方在违背真实意思的情况下订立的劳动合同无效。
   • 关键点：公司需提供虚假学历证书、隐瞒病史等欺诈行为的直接证据。例如，若员工在签订劳动合同时提供虚假学历证明，公司发现后可立即解除合同且无需支付赔偿。

6. 被追究刑事责任

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第六项规定，劳动者被依法追究刑事责任的，用人单位可解除合同。
   • 关键点：公司需提供生效判决书、拘留通知书等法律文书。例如，若员工因犯罪被判处有期徒刑，公司可立即解除与其劳动合同且无需给予经济补偿。

二、客观情况变化导致的辞退（但需注意，这些情形下通常仍需支付经济补偿，除非符合特定不支付条件）

• 经济性裁员：虽属合法解除，但根据《劳动合同法》第四十一条，企业需提前30日向工会说明情况，听取意见后向劳动部门报告，并按N+1标准支付补偿金（但若企业能证明员工存在上述过错性情形，则可能不支付）。
• 无过失性辞退：如医疗期满不能从事原工作、不胜任工作经培训调岗后仍不胜任等，虽属合法解除但需支付N个月工资的经济补偿金，若未支付则仍构成违法解除。不过，若员工存在过错性情形，公司可能以此为由不支付补偿。

三、特殊注意事项

• 程序合法性要求：所有辞退均需履行法定程序（如通知工会、出具书面解除通知），否则可能构成违法解除，需支付赔偿金。
• 举证责任分配：公司需对辞退理由承担举证责任，如无法提供充分证据将面临败诉风险。
• 例外情形限制：女职工三期（孕期、产期、哺乳期）、工伤职工等特殊群体受特别保护，不得随意辞退，除非存在严重过错性情形。

建议：若您作为员工遇到被公司辞退且未支付赔偿的情况，首先应确认公司辞退的理由是否符合上述法律规定。若不符合，您有权向劳动仲裁机构申请仲裁，要求公司支付相应的经济补偿或赔偿金。若您作为公司方，在辞退员工前务必确保符合法律规定，并履行好相关程序，以避免不必要的法律纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。