结论：没有和第三方中介签订合同，并不直接决定是否有资格派遣员工，这主要取决于是否满足劳务派遣的相关法律规定以及实际用工情况。以下从不同角度进行分析：

1. 劳务派遣的合法性基础：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十七条，经营劳务派遣业务应当具备下列条件：（一）注册资本不得少于人民币二百万元；（二）有与开展业务相适应的固定的经营场所和设施；（三）有符合法律、行政法规规定的劳务派遣管理制度；（四）法律、行政法规规定的其他条件。经营劳务派遣业务，应当向劳动行政部门依法申请行政许可；经许可的，依法办理相应的公司登记。未经许可，任何单位和个人不得经营劳务派遣业务。
   • 这意味着，要合法进行劳务派遣，必须首先获得行政许可并满足一定的条件，而不仅仅是与第三方中介签订合同的问题。

2. 未与第三方中介签合同的影响：

   • 如果未与第三方中介签订合同，但直接满足了劳务派遣的合法性条件（如拥有行政许可、注册资本等），并且与用工单位签订了劳务派遣协议，那么理论上仍然可以进行劳务派遣。但这种情况下，可能缺乏与中介之间的明确权利义务划分，容易在后续出现纠纷时难以界定责任。
   • 如果既未与第三方中介签订合同，也不满足劳务派遣的合法性条件，那么进行劳务派遣就是违法的，可能会面临劳动行政部门的处罚，包括罚款、责令改正等。

3. 实际用工情况的重要性：

   • 劳务派遣的合法性不仅取决于是否满足法定条件，还取决于实际的用工情况。例如，劳务派遣单位应当与被派遣劳动者订立二年以上的固定期限劳动合同，按月支付劳动报酬；被派遣劳动者在无工作期间，劳务派遣单位应当按照所在地人民政府规定的最低工资标准，向其按月支付报酬。
   • 如果劳务派遣单位未按照这些规定进行操作，即使与第三方中介签订了合同，也可能面临法律风险。

4. 建议：

   • 对于想要进行劳务派遣的单位或个人，建议首先确保满足劳务派遣的合法性条件，并依法获得行政许可。
   • 在与第三方中介合作时，务必签订详细的合同，明确双方的权利义务，以避免后续纠纷。
   • 在实际用工过程中，要严格遵守相关法律法规，保障被派遣劳动者的合法权益。

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