监视居住的批准机关根据刑事诉讼阶段和案件性质的不同而有所区别，具体如下：
公安机关侦查阶段：
- 在刑事案件的侦查过程中，若公安机关认为犯罪嫌疑人符合监视居住的条件（例如患有严重疾病、生活不能自理，或是怀孕、正在哺乳自己婴儿的妇女等），需经过公安机关负责人的审查并批准后，方可对犯罪嫌疑人采取监视居住措施。
人民检察院审查起诉阶段：
- 对于公安机关移送审查起诉的案件，若人民检察院认为犯罪嫌疑人符合监视居住的条件，可以由检察长作出监视居住的决定。
- 在某些重大或复杂的案件中，可能还需要经过检察委员会的讨论并决定是否采取监视居住措施。
人民法院审判阶段：
- 在审判过程中，若人民法院认为被告人符合监视居住的条件，由法院院长决定是否批准监视居住。
关于监视居住的执行：
- 无论监视居住的决定由哪个机关作出，具体的执行工作均由公安机关负责。这确保了监视居住措施的有效实施，并体现了公安机关在刑事诉讼中的重要作用。
举例说明：
- 假设在一起盗窃案件中，犯罪嫌疑人突发严重心脏病需要定期治疗，公安机关在侦查阶段认为其符合监视居住的条件，经过公安机关负责人的批准后，可以对其采取监视居住措施，并由公安机关负责执行。
- 又如，在一起贪污贿赂案件的审查起诉阶段，犯罪嫌疑人年老体弱且患有多种疾病，不适宜羁押，人民检察院可以决定对其监视居住，并由公安机关执行。
法律建议：
- 监视居住作为刑事诉讼中的一项重要措施，其批准和执行均受到法律的严格规定。若您或您身边的人面临监视居住的情况，建议及时了解相关法律规定，确保自身权益不受侵犯。
- 同时，被监视居住人也应自觉遵守相关义务，如未经执行机关批准不得离开执行监视居住的处所、不得会见他人或通信（除法律允许的情况外）等，以配合司法机关的工作。
如有任何关于监视居住或其他刑事诉讼方面的疑问，欢迎直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律解答和建议。