如果公司辞退员工却不给予补偿，员工可以首先向劳动监察部门投诉，或者依法申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。以下是从不同角度对此问题的详细分析：

一、法律背景与依据

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在解除劳动合同时，应当按照法律规定向劳动者支付经济补偿。如果用人单位未依法支付经济补偿，劳动者有权通过法律途径来维护自己的权益。

二、维权途径

1. 向劳动监察部门投诉：

   • 劳动者可以向当地劳动监察部门投诉用人单位的违法行为。劳动监察部门有权对用人单位进行监督检查，并责令其改正违法行为，包括支付拖欠的经济补偿。

2. 申请劳动仲裁：

   • 如果投诉未果，或者劳动者希望更直接地解决争议，可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。劳动仲裁委员会将依法审理案件，并作出裁决，要求用人单位支付经济补偿。

三、具体操作步骤

1. 收集证据：

   • 在采取任何行动之前，劳动者应收集相关证据，如劳动合同、工资单、辞退通知等，以证明用人单位的违法行为和自己的权益受损情况。

2. 提交投诉或仲裁申请：

   • 劳动者应按照劳动监察部门或劳动仲裁委员会的要求，填写投诉或仲裁申请表，并提交相关证据。

3. 参与调解或仲裁程序：

   • 在劳动监察部门或劳动仲裁委员会的安排下，劳动者应积极参与调解或仲裁程序，陈述自己的诉求和理由，并提供证据支持。

四、可能的结果与后续行动

1. 如果用人单位被责令支付经济补偿：

   • 劳动者应确保用人单位按时支付经济补偿。如果用人单位未按时支付，劳动者可以向法院申请强制执行。

2. 如果劳动仲裁裁决用人单位支付经济补偿，但用人单位不服裁决并提起诉讼：

   • 劳动者应积极应诉，并在法院审理过程中提供证据支持自己的诉求。如果法院最终判决用人单位支付经济补偿，劳动者应确保用人单位按时履行判决。

五、注意事项

• 时效性：劳动者应注意投诉或申请劳动仲裁的时效性，以免错过维权时机。一般来说，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。
• 法律程序：劳动者应了解并遵守相关的法律程序，如提交投诉或仲裁申请的时间、地点、方式等，以确保自己的权益得到有效维护。

总结来说，如果公司辞退员工却不给予补偿，员工可以通过向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。在维权过程中，劳动者应收集相关证据、了解法律程序，并积极参与调解或仲裁程序。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。