结论：因公益林被破坏引起家属严重疾病，是否可以提起行政赔偿诉讼，需根据具体情况判断，主要看公益林破坏行为与家属疾病之间是否存在直接的因果关系，以及该破坏行为是否由行政机关的违法行为导致。

分析角度一：因果关系

1. 直接因果关系：若能证明公益林的破坏行为直接导致了家属的严重疾病，例如公益林破坏后释放的有毒物质直接污染了水源或空气，进而导致家属患病，那么这种情况下，因果关系较为明确。但需要注意的是，这种直接因果关系的证明往往需要专业的医学和科学证据支持。

2. 间接因果关系：如果公益林的破坏行为与家属疾病之间存在间接联系，比如破坏行为改变了生态环境，间接影响了家属的生活环境，进而导致疾病发生，这种情况下因果关系的证明将更为复杂。需要综合考虑多种因素，包括环境变化的具体影响、家属的生活习惯、其他可能的致病因素等。

分析角度二：行政机关的违法行为

1. 行政机关直接破坏：如果公益林的破坏行为是由行政机关直接实施的，且该行为被认定为违法，那么家属在证明因果关系成立的情况下，有权提起行政赔偿诉讼，要求行政机关承担赔偿责任。

2. 行政机关监管不力：如果公益林的破坏行为是由第三方实施的，但行政机关存在监管不力的情况，导致破坏行为得以发生或持续，那么家属在证明因果关系成立，且行政机关的监管不力与破坏行为之间存在关联的情况下，也可能有权提起行政赔偿诉讼。但这种情况下，赔偿责任的承担可能更为复杂，需要综合考虑行政机关的过错程度、破坏行为的严重性等因素。

法律建议：

1. 收集证据：家属应首先收集相关证据，包括医学证明、环境监测报告、行政机关的执法记录等，以证明公益林破坏行为与家属疾病之间的因果关系，以及行政机关的违法行为或监管不力情况。

2. 咨询专业律师：由于行政赔偿诉讼涉及复杂的法律问题和证据收集，建议家属在提起诉讼前咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和指导。

3. 考虑其他救济途径：除了行政赔偿诉讼外，家属还可以考虑通过民事诉讼、环境公益诉讼等途径维护自身权益。具体选择哪种途径，需要根据案件的具体情况和家属的诉求来决定。

可能法律后果：

• 如果家属能够成功证明因果关系和行政机关的违法行为或监管不力情况，那么行政机关可能需要承担赔偿责任，包括赔偿家属的医疗费用、误工费、精神损害抚慰金等。

• 如果家属无法证明因果关系或行政机关的违法行为，那么行政赔偿诉讼可能会被驳回，家属需要承担败诉的法律后果。

如有更多细节或疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。