结论：抵押权设立在先，在符合法定条件的情况下，可以申请执行法院涤除设立在后的居住权。
法律背景与解释：
抵押权与居住权的性质：
- 抵押权：是一种担保物权，旨在确保债权的实现。当债务人不履行债务时，债权人有权依法以抵押财产折价或者以拍卖、变卖该财产的价款优先受偿。
- 居住权：是一种用益物权，是指居住权人有权按照合同约定，对他人的住宅享有占有、使用的用益物权，以满足生活居住的需要。
抵押权与居住权的冲突：
- 当抵押权设立在先，而居住权设立在后时，两者可能产生冲突。因为抵押权的实现可能涉及对抵押物的处置，如拍卖、变卖等，这可能影响居住权人的居住权益。
涤除居住权的法律依据：
- 根据《民法典》的相关规定，抵押权人实现抵押权时，有权要求涤除抵押物上的其他权利负担，包括居住权，但需满足一定条件，如抵押权人能够证明居住权的存在严重影响了抵押权的实现，或者居住权人同意涤除等。
- 在执行程序中，如果抵押权人申请执行法院涤除居住权，法院会根据具体情况进行审查，包括抵押权的设立时间、居住权的设立情况、对抵押权实现的影响程度等。
法律建议：
收集证据：
- 抵押权人应收集充分证据证明抵押权的设立时间早于居住权，以及居住权的存在对抵押权实现造成了严重影响。
与居住权人协商：
- 在申请执行前，抵押权人可以尝试与居住权人协商，看是否能够达成一致意见，如居住权人自愿放弃居住权或同意在一定条件下涤除居住权。
申请执行：
- 如果协商无果，抵押权人可以向执行法院提出申请，要求涤除居住权。在申请时，应提交相关证据材料，并说明涤除居住权的必要性和合理性。
关注执行进展：
- 在执行过程中，抵押权人应密切关注执行进展，及时与执行法院沟通，确保执行程序顺利进行。
可能的法律后果：
- 如果法院认定抵押权人的申请符合法定条件，将裁定涤除居住权，并可能采取相应措施保障抵押权的实现。
- 如果法院认定抵押权人的申请不符合法定条件，将驳回申请，抵押权人需通过其他途径维护自己的权益。
特殊情况考虑：
- 如果居住权人能够证明其居住权是基于特殊原因（如赡养、抚养等）而设立，且涤除居住权将对其生活造成严重影响，法院可能会在考虑双方利益平衡的基础上，对涤除居住权的申请进行更为审慎的审查。
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