小三无权通过法律途径要求分手费，具体分析如下：

1. 法律关系层面
   “分手费”在法律上通常被认定为“情感补偿”或“赠与撤销”问题。根据《民法典》第1042条，禁止有配偶者与他人同居，此类关系本身违反公序良俗原则。因此，基于非法同居关系产生的“分手费”约定，因违反法律强制性规定而无效，法院不会支持此类诉求。

2. 合同效力层面
   若双方曾签订书面协议约定分手费，需分情况讨论：

   • 以维持非法关系为条件：例如约定“继续同居则支付费用”，此类协议因目的违法而无效；
     
   • 以结束非法关系为条件：即使协议表述为“补偿”，仍可能被认定为“以合法形式掩盖非法目的”，同样无效。
     根据《民法典》第153条，违背公序良俗的民事法律行为无效，此类协议自始不产生法律效力。

3. 特殊情形例外
   若分手费涉及以下情形，可能获得部分支持：

   • 财产混同：如双方共同生活期间购置的财产，可按共同共有原则分割；
     
   • 欺诈或胁迫：若能证明协议签订时存在欺诈、胁迫等情形，可依据《民法典》第148-151条主张撤销；
     
   • 青春损失费等名义：此类诉求缺乏法律依据，法院通常不予支持。

建议：若涉及财产纠纷，需收集转账记录、共同购置财产凭证等证据，通过民事诉讼主张权利，但需注意证据合法性。若对方以曝光隐私等手段威胁，可报警处理或依据《治安管理处罚法》追究责任。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体案件细节。