结论：一般情况下，继子要求继承您老公遗产时，不会直接调查您名下的存款，但在特定情况下，您名下的存款情况可能会被涉及调查，以下分情况详细说明。
正常继承情况，一般不调查您名下存款
在处理您老公的遗产继承时，首先要明确遗产的范围。遗产是指被继承人死亡时遗留的个人合法财产。通常情况下，您名下的存款属于您的个人财产，并非您老公的遗产，所以继子在要求继承您老公遗产时，没有合理依据去直接调查您名下的存款。
例如，您在婚前就已经拥有的存款，或者在婚姻关系存续期间，通过明确的约定（如签订婚内财产协议）确定为您个人所有的存款，以及您因个人劳动所得、接受赠与（明确只赠与您个人）等获得的存款，都属于您的个人财产，与您老公的遗产无关，继子无权要求调查。
特殊情况，可能会涉及调查您名下存款
- 存在财产混同且无法清晰区分时
如果您和您老公在婚姻关系存续期间，没有对财产进行明确的区分，存在财产混同的情况，那么在确定您老公的遗产范围时，就可能需要调查您名下的存款情况，以区分出哪些属于您老公的遗产。
比如，您和您老公共同使用一个银行账户，账户内的资金往来频繁且没有详细的记录来区分各自的财产份额，在这种情况下，为了准确确定您老公的遗产数额，就可能会对您名下该账户的存款情况进行调查。
- 怀疑您有转移、隐匿财产行为时
如果继子有合理的理由怀疑您为了减少您老公遗产的数额，而将您老公的财产转移到您名下或者隐匿起来，那么继子可能会通过法律途径申请调查您名下的存款情况。
例如，您老公在生前有较大数额的存款，但在其去世后，继子发现这部分存款“不翼而飞”，而您名下的存款却有异常增加，继子就可能会怀疑您有转移财产的行为，从而申请法院调查您名下的存款。
- 涉及夫妻共同债务时
如果您老公在生前有夫妻共同债务，在处理遗产继承时，需要先用您老公的遗产来偿还债务。如果遗产不足以偿还债务，而您名下的存款中有部分属于夫妻共同财产，那么债权人或者相关继承人可能会要求调查您名下的存款情况，以确定可用于偿还债务的财产范围。
比如，您老公生前因生意失败欠下了一笔债务，这笔债务属于夫妻共同债务，在您老公去世后，用其遗产偿还债务后仍有部分债务未还清，此时就可能会涉及调查您名下属于夫妻共同财产部分的存款情况。
建议：如果您遇到继子要求继承您老公遗产且担心名下存款被调查的情况，建议您先梳理清楚自己名下存款的性质和来源，保留好相关的证据，如婚前财产证明、婚内财产协议、资金往来凭证等。如果继子提出了不合理的调查要求或者您对遗产继承问题存在疑问，可以随时向我咨询，我会根据具体情况为您提供详细的法律建议和解决方案。