结论：在您描述的情况下，即已支付手机分期付款的首付但未签订合同且手机未激活，能否退款需视具体情况而定，但一般来说，您有权要求退款，不过可能会面临一些阻碍或需要承担一定的责任。以下是从不同角度进行的分析：
一、合同角度
合同成立与否：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同的成立需要双方意思表示一致，并通常要求以书面形式（如签订书面合同）来明确双方的权利和义务。在您的情况下，由于未签订书面合同，从形式上看，合同可能尚未成立。
- 然而，如果双方已经就购买手机的主要条款（如型号、价格、分期付款方式等）达成一致，并且您已经支付了首付，这可能构成口头合同或事实合同关系。但口头合同或事实合同在证明上可能存在一定困难。
合同解除与退款：
- 如果合同尚未成立，您有权要求商家退还已支付的首付。
- 如果合同已经成立（尽管未签订书面合同），但您因某种原因（如手机不符合预期、经济原因等）希望解除合同，您可能需要与商家协商。根据《民法典》的规定，合同解除后，尚未履行的，终止履行；已经履行的，根据履行情况和合同性质，当事人可以请求恢复原状或者采取其他补救措施，并有权请求赔偿损失。因此，在协商解除合同的情况下，您有权要求商家退还首付，但可能需要承担一定的违约责任（如支付一定的违约金或赔偿商家因此遭受的损失）。
二、消费者权益保护角度
消费者权益：
- 作为消费者，您享有知情权、选择权、公平交易权等基本权利。如果商家在销售过程中存在欺诈、误导或隐瞒重要信息等行为，您有权要求商家承担相应的法律责任，包括退还已支付的费用。
退款请求：
- 在您的情况下，由于手机未激活且未签订合同，您可以以“未实际使用商品”或“合同未成立”为由向商家提出退款请求。商家应当尊重您的选择，并退还已支付的首付。
三、实际操作建议
与商家协商：
- 首先，建议您与商家进行友好协商，说明您的情况和退款请求。在协商过程中，您可以强调手机未激活且未签订合同的事实，以及您作为消费者的合法权益。
保留证据：
- 在与商家协商的过程中，务必保留好所有相关的证据，如支付凭证、与商家的沟通记录等。这些证据将在后续可能出现的纠纷中起到关键作用。
寻求法律援助：
- 如果商家拒绝退款或协商无果，您可以考虑寻求法律援助或向消费者协会投诉。在必要时，您还可以向法院提起诉讼，维护自己的合法权益。
最后，虽然您有权要求退款，但具体能否成功退款还需看商家的态度和双方的协商结果。如果商家拒绝退款或提出不合理的要求，您可以通过法律途径来维护自己的权益。如果您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。