在法院诉讼中，原告垫付诉讼费后，判决由被告承担该费用时，原告无需向被告提供发票，但需向法院提交诉讼费缴纳凭证，由被告直接向法院支付或由法院退还原告后被告向原告支付，具体流程如下：

1. 诉讼费缴纳凭证的作用
   原告在立案时需向法院预交诉讼费，法院会出具《诉讼费缴纳通知书》及缴费凭证（如银行回单、法院收据等）。此凭证是证明原告已实际支付诉讼费的法定文件，也是后续执行或退费的关键依据。判决生效后，若被告需承担诉讼费，法院会依据该凭证直接要求被告支付，或通过执行程序划扣被告财产。

2. 被告支付诉讼费的流程

   • 直接支付给法院：若被告在判决指定的履行期内主动支付，需将诉讼费交至法院指定账户，并备注案件信息（如案号、当事人姓名）。法院收到款项后会出具《诉讼费专用票据》，该票据由被告留存，作为其履行义务的证明。
     
   • 通过执行程序支付：若被告未主动履行，原告可向法院申请强制执行。法院会从被告财产中划扣诉讼费，并出具执行结案通知书，此时无需原告或被告额外提供发票。

3. 原告是否需要向被告提供发票？
   无需提供。诉讼费属于法院收取的法定费用，其缴纳和退还均通过法院账户进行，原告无需向被告开具发票。被告支付诉讼费后，法院会通过官方票据（如《诉讼费专用票据》或执行结案文书）证明其已履行义务，该票据具有法律效力，可作为被告财务处理的依据。

4. 特殊情况处理

   • 退费情形：若原告预交的诉讼费多于被告应承担的金额，法院会退还多余部分至原告账户。退费时，原告需向法院提交原缴费凭证及退款申请，法院审核后会直接退还，无需被告参与。
     
   • 被告要求凭证：若被告以财务报销为由要求原告提供凭证，原告可告知其向法院申请调取《诉讼费专用票据》或执行结案文书，法院会依法配合提供。

总结：原告垫付诉讼费后，只需保留好法院出具的缴费凭证，无需向被告提供发票。被告支付诉讼费时，由法院通过官方票据或执行文书确认其履行义务，原告无需额外操作。若遇特殊情况，可联系法院协助处理。