在电话通知核查后发现违法行为，是否需要再开具传唤证，需分情况讨论：
若电话通知仅为初步核查或询问，且未对当事人采取强制措施：
- 在此情况下，电话通知更多是作为一种初步沟通或调查手段，用于了解情况或要求当事人配合调查。若此时尚未发现确凿的违法证据，或未对当事人的人身自由构成限制，则无需立即开具传唤证。
- 但若后续调查中，行政机关认为有必要对当事人进行进一步询问或调查，且可能涉及限制其人身自由的情况，则应当依法开具传唤证，以确保程序的合法性和正当性。
若电话通知时已明确告知当事人涉嫌违法，并要求其到指定地点接受调查：
- 在此情形下，若电话通知的内容已经具备了传唤的实质要件，即明确告知了当事人涉嫌违法的事实、接受调查的时间和地点等关键信息，且当事人同意配合调查，那么从效率角度出发，可能无需立即开具书面传唤证。但为确保程序严谨性，建议后续补办传唤手续或记录在案。
- 然而，若法律、法规明确规定必须使用书面传唤证（如《治安管理处罚法》第八十二条明确规定“需要传唤违反治安管理行为人接受调查的，经公安机关办案部门负责人批准，使用传唤证传唤”），则无论电话通知内容如何详尽，均需依法开具传唤证，否则可能因程序违法导致行政行为无效。
从程序合法性角度分析：
- 传唤证是行政机关依法通知当事人到指定地点接受询问或调查的法律文书，其开具和使用需严格遵循法定程序。若未依法开具传唤证而直接对当事人进行传唤或限制其人身自由，可能构成程序违法，进而影响后续行政处罚的合法性和有效性。
- 因此，即使电话通知已经初步告知了当事人涉嫌违法的事实，但为确保程序的合法性和正当性，行政机关在后续调查中仍应依法开具传唤证（如法律有明确要求），或至少通过书面形式确认传唤事宜（如发送书面通知并要求当事人签收）。
建议与总结：
- 行政机关：在电话通知核查后发现违法行为时，应首先判断是否需要限制当事人的人身自由或进行进一步询问调查。若需要，则应依法开具传唤证或采取其他合法手段确保程序的合法性；若不需要，则可通过电话或其他方式继续与当事人沟通，但需注意保留相关证据和记录。
- 当事人：若接到电话通知涉嫌违法并要求接受调查时，应首先确认通知方的身份和通知内容的合法性。若对通知内容有疑问或认为程序不合法，有权要求对方出示书面传唤证或其他合法手续；同时，也有权咨询专业律师以维护自身合法权益。
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