国家机关（这里主要讨论国家行政机关）在行使追偿权时，必须严格遵循一系列条件以确保其合法性和有效性。以下是行使追偿权必须具备的三个核心条件，我将为您详细阐述：

一、赔偿义务已实际履行

这是行使追偿权的基础和前提。行政赔偿义务机关必须已经向受损失的公民、法人或其他社会组织实际支付了赔偿金，或者返还了财产，或者恢复了原状。换句话说，行政机关必须已经先行承担了赔偿责任，才有资格向造成损害的工作人员或受委托的组织、个人进行追偿。例如，如果某公民因行政机关的违法行政行为遭受了财产损失，并提出了赔偿请求，行政机关在审查确认后实际支付了赔偿款项，此时行政机关才具备了后续行使追偿权的基础。

二、存在故意或重大过失

追偿权的行使必须基于行政机关工作人员或受委托的组织、个人在执行职务过程中存在故意或重大过失。故意是指明知自己的行为会导致损害结果，却仍希望或放任其发生；重大过失则是指未达到一般理性人在相同情况下的注意程度，导致损害结果的发生。例如，如果某行政执法人员因与当事人有个人恩怨，故意滥用职权造成损害，或者某消防部门工作人员疏忽大意，未检查并整改安全隐患导致火灾事故，这些行为都构成了故意或重大过失，行政机关在赔偿后有权对相关责任人进行追偿。

三、符合时效和程序要求

行政机关在行使追偿权时，还必须遵循法律规定的时效和程序要求。虽然我国国家赔偿法未明确规定行政追偿的具体时效，但在实际操作中应遵循相关法律原则和程序规定。追偿金额应以赔偿义务机关实际支付的赔偿金额为限，不得超出此范围要求被追偿人承担额外费用。同时，行政机关必须遵循法定程序行使追偿权，包括向被追偿人告知追偿事实、理由和依据，听取其陈述和申辩，送达追偿决定书明确追偿金额、依据和期限等内容。被追偿人有权对追偿决定提出异议和申辩，行政机关需进行审查和处理。

综上所述，国家行政机关在行使追偿权时，必须同时满足赔偿义务已实际履行、存在故意或重大过失、符合时效和程序要求这三个核心条件。这既保障了行政机关的合法权益，也确保了被追偿人的合法权益得到尊重和保护。通过明确追偿权的行使条件和程序，可以促进行政机关的规范执法，提高行政效率，同时也增强了公众对行政机关的信任和支持。