结论：在民事纠纷中，如果双方私下解决成功，是否可以“撤案”取决于纠纷是否已经进入司法程序以及具体的解决情况。以下分情况详细说明：

1. 纠纷未进入司法程序：

   • 如果民事纠纷尚未向法院提起诉讼，双方通过私下协商达成和解，那么自然不存在“撤案”的问题。因为案件尚未被法院受理，也就不存在需要撤销的案件。此时，双方可以签订和解协议，明确各自的权利和义务，以避免未来可能出现的争议。

2. 纠纷已进入司法程序但尚未判决：

   • 如果民事纠纷已经向法院提起诉讼，但在法院作出判决之前，双方私下达成和解，并希望结束诉讼程序，那么可以向法院申请撤诉。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，原告在宣判前有权申请撤诉，法院在审查后认为符合撤诉条件的，会裁定准许撤诉。此时，案件即被视为“撤案”。
   • 申请撤诉的流程：原告需要向法院提交书面撤诉申请，说明撤诉的理由和意愿。法院在收到申请后，会进行审查，确认撤诉是否出于原告的真实意愿，以及撤诉是否会损害国家、集体或他人的合法权益。如果法院认为撤诉申请符合法律规定，会裁定准许撤诉，并终结诉讼程序。

3. 纠纷已进入司法程序且已判决：

   • 如果民事纠纷已经经过法院审理并作出判决，那么双方私下达成的和解协议就不能直接导致案件的“撤案”。因为判决已经具有法律效力，双方需要履行判决确定的义务。如果双方希望改变判决结果，可以通过上诉或申请再审等法律程序来实现，但这与“撤案”是不同的概念。

法律建议：

• 在民事纠纷中，如果双方希望私下解决并避免进入司法程序，建议尽早进行协商，并签订和解协议以明确各自的权利和义务。
• 如果纠纷已经进入司法程序，但双方希望结束诉讼，应及时向法院申请撤诉，并按照法院的要求提交相关材料和说明撤诉理由。
• 在任何情况下，都建议双方在协商或申请撤诉前咨询专业律师的意见，以确保自己的权益得到充分保护。

可能后果：

• 如果双方私下达成和解但未签订书面协议，未来可能出现争议或反悔的情况，导致纠纷再次升级。
• 如果未经法院准许擅自撤诉或未按照法院要求履行相关手续，可能会被视为放弃诉讼权利或违反法律规定，导致不利后果。

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