员工下班后在医院死亡，是否构成工伤并获得赔偿，需根据具体情况判断。以下从不同角度进行分析：
一、是否构成工伤
工伤认定的一般原则：
- 根据《工伤保险条例》的规定，工伤通常指的是在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害，或者因履行工作职责受到暴力等意外伤害的情况。此外，还包括在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的情况。
下班后在医院死亡的情况分析：
- 如果员工是在下班后，因个人疾病或其他非工作原因在医院死亡，且该死亡与工作无直接关联，那么通常不构成工伤。
- 如果员工是在下班后，因工作原因（如加班后突发疾病、工作过程中受伤未及时就医等）在医院死亡，且能够证明该死亡与工作有直接因果关系，那么可能构成工伤。
二、赔偿问题
构成工伤的情况：
- 如果员工下班后在医院死亡被认定为工伤，那么其家属有权获得工伤保险赔偿，包括丧葬补助金、一次性工亡补助金、供养亲属抚恤金等。具体赔偿标准根据《工伤保险条例》及相关规定执行。
- 计算公式示例（以一次性工亡补助金为例）：
- 一次性工亡补助金标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。假设上一年度全国城镇居民人均可支配收入为50000元，则一次性工亡补助金为50000元 * 20 = 1000000元。
不构成工伤的情况：
- 如果员工下班后在医院死亡不被认定为工伤，那么其家属通常无法获得工伤保险赔偿。但家属可以依据《中华人民共和国民法典》的相关规定，向相关责任方（如医院、造成伤害的第三方等）主张民事赔偿，如果存在侵权行为的话。
三、建议与程序
及时申请工伤认定：
- 如果员工家属认为员工下班后在医院死亡可能构成工伤，应尽快向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请，并提供相关证据材料。
收集证据：
- 无论是申请工伤认定还是主张民事赔偿，都需要收集充分的证据来证明员工死亡与工作之间的关联性或其他相关事实。这可能包括医疗记录、工作记录、证人证言等。
咨询专业律师：
- 在处理此类复杂案件时，建议家属咨询专业律师以获取更具体的法律建议和帮助。律师可以根据案件具体情况，为家属提供针对性的法律策略和指导。
总结来说，员工下班后在医院死亡是否构成工伤并获得赔偿，需根据具体情况判断。如果构成工伤，家属有权获得工伤保险赔偿；如果不构成工伤，家属可能无法获得工伤保险赔偿，但可以依据相关法律规定向相关责任方主张民事赔偿。在处理此类案件时，建议家属及时申请工伤认定、收集证据并咨询专业律师。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。