面对诉讼离婚时男方拒绝提供小孩出生证明的情况，女方可以通过以下详细且有条理的途径来解决问题，以确保孩子的合法权益不受影响：
一、尝试友好协商沟通
直接沟通：
- 女方应首先尝试与男方进行友好、坦诚的对话，明确表达需要出生证明的原因和用途，如办理户口登记、入学手续、接种疫苗等，这些都是孩子成长过程中必不可少的环节。
- 在沟通过程中，保持冷静和理性，避免情绪化的争吵，以达成双方都能接受的解决方案。
寻求第三方协助：
- 如果直接沟通效果不佳，女方可以寻求共同的朋友、家人或专业调解机构的帮助。这些中立的第三方可以从客观的角度出发，协助双方更好地沟通和协商。
- 在第三方的协助下，双方可以考虑签署一份协议，明确双方对出生证明的使用方式和范围，以确保孩子的权益得到保障。
二、向相关部门申请补办或查询
医院补办：
- 出生证明通常由宝宝出生的医院开具。女方可以携带自己的身份证、离婚证（如有）、户口本等相关证件，前往宝宝出生的医院进行咨询和申请补办。
- 如果医院要求提供男方的相关信息或证件，而男方无法配合，女方应向医院说明情况，并提供离婚证明或其他相关材料，以证明自己有合法权利获取出生证明。
卫生健康部门查询：
- 女方也可以前往当地卫生健康部门的妇幼保健机构进行咨询和查询。这些机构通常会保存有新生儿的出生记录和相关信息。
- 在查询时，女方需要提供自己的身份证明和宝宝的相关信息（如姓名、出生日期等），以便工作人员能够准确查找和提供出生证明。
公安机关协助：
- 如果上述途径均无法解决问题，女方可以向当地公安机关报案或求助。公安机关可以根据具体情况进行调查和处理，并协助女方获取出生证明。
三、通过法律途径维权
提起诉讼：
- 如果男方仍然拒绝提供出生证明，且其行为已经严重影响到女方和宝宝的合法权益，女方可以考虑向法院提起诉讼。
- 在诉讼过程中，女方需要提供充分的证据证明男方拒绝提供出生证明的事实以及由此给自己和宝宝造成的损失。法院将根据具体情况作出判决，并要求男方履行相应的义务。
法院调解或判决后的执行：
- 如果男方在履行期未履行法院判决，女方可以申请法院强制执行。法院在执行过程中，可以采取多种强制措施，如查询男方的财产状况、冻结其银行账户、限制其高消费等，迫使其履行判决义务。
向卫生健康部门反映：
- 女方也可以向当地的卫生健康部门反映男方扣留出生证明的情况，请求他们协助解决。卫生健康部门可以根据实际情况，对男方进行批评教育，并督促其交出出生证明。如果男方仍然不配合，卫生健康部门可以根据相关规定，对其进行相应的处罚。
四、注意事项
保存证据：
- 在处理此类问题时，女方应注意保存好与男方的沟通记录、法院判决书等相关证据，以备不时之需。
寻求专业帮助：
- 如果遇到困难或不确定如何处理，女方可以咨询专业律师或相关机构寻求帮助，以获取更专业的法律意见和支持。
综上所述，面对诉讼离婚时男方拒绝提供小孩出生证明的问题，女方应通过友好协商、向相关部门申请补办或查询、通过法律途径维权等多种方式来维护自己和孩子的合法权益。在处理过程中，务必保持冷静和理性，确保孩子的权益得到妥善保障。