在离婚诉讼中，如果法院要求提供未成年人的出生证，但当事人一方不肯提供，您可以采取以下措施来应对：

1. 明确法律要求与责任：

   • 首先，应明确法院要求提供出生证的目的，通常是为了确认孩子的身份及与父母的亲属关系，这对案件的审理和判决至关重要。
   • 当事人有义务配合法院的调查和取证工作，拒绝提供出生证可能构成不履行法定义务的行为。

2. 尝试协商与沟通：

   • 与拒绝提供出生证的一方进行坦诚沟通，解释出生证对案件审理的重要性，以及拒绝提供可能带来的法律后果。
   • 尝试通过协商达成共识，促使对方主动提供出生证。

3. 申请补办或替代证明：

   • 如果出生证遗失或损坏，可以向孩子出生的医疗机构或县级以上卫生行政部门申请补办。
   • 若补办困难，可以提交其他有效证明材料，如分娩记录、住院病历、户籍证明等，以证明孩子的出生信息及其与父母的关系。

4. 申请法院调查取证：

   • 若对方无正当理由拒不提供出生证，您可以向法院提交书面的调查取证申请书。
   • 法院将根据法律规定和案件需要，依法进行调查取证，以核实相关事实。

5. 法律后果与应对：

   • 如果对方拒绝提供出生证且法院认为该证据对案件有决定性影响，法院可能依据现有证据作出判决，或采取其他法律措施促使对方履行义务。
   • 在极端情况下，拒绝提供出生证可能构成妨碍诉讼的行为，法院有权依法追究相关责任。

综上所述，面对离婚诉讼中一方不肯提供出生证的情况，您应首先尝试协商与沟通；若协商无果，则应及时申请补办或替代证明，并考虑向法院申请调查取证。在整个过程中，保持冷静和理性，充分利用法律提供的各种途径来证明自己的主张，确保案件得到公正审理。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。