房租合同到期后自动续租的合法最小期限，法律并未作出统一强制性规定，具体需结合合同约定及地方性法规综合判断。以下从不同角度展开分析：

1. 合同约定优先原则
   根据《民法典》第734条，租赁期限届满后，承租人继续使用租赁物且出租人未提出异议的，原租赁合同继续有效，但转为不定期租赁。若双方在原合同中明确约定了自动续租条款（如“合同到期自动续租X个月”），则该约定具有法律效力，续租期限以合同约定为准。此时不存在“法定最小期限”，完全遵循意思自治原则。

2. 不定期租赁的特殊性
   若未约定自动续租条款，则转为不定期租赁。根据《民法典》第730条，不定期租赁中，任何一方均可随时解除合同，但需在合理期限前通知对方（通常为1个月）。此时不存在“最小续租期限”的限制，但出租人或承租人行使解除权时需遵守通知义务。

3. 地方性法规的补充规定
   部分地区可能对自动续租作出细化规定。例如：

   • 北京市：根据《北京市房屋租赁管理若干规定》，租赁合同到期后，承租人继续使用房屋的，出租人未提出异议的，租赁期限不少于6个月（但该规定已废止，现行法律无此限制）；
   • 上海市：目前无强制性最小续租期限规定，但鼓励双方通过合同明确约定。 建议根据房屋所在地查询最新地方性法规，或直接向我咨询具体地区的政策。

4. 实务建议

   • 明确约定续租条款：为避免争议，建议在原合同中增加自动续租条款，明确续租期限（如“自动续租1年”）及租金调整方式；
   • 避免口头约定：自动续租需以书面形式固定，否则可能被认定为不定期租赁；
   • 关注通知义务：若转为不定期租赁，解除合同时需提前通知对方，否则可能承担违约责任。

总结：自动续租的最小合法期限取决于合同约定，无约定时转为不定期租赁，无强制最小期限但需遵守通知义务。建议根据实际情况签订书面续租协议，或直接向我提供合同文本进一步分析。