结论概述：结合新闻背景，大哥带馒头进饭店泡馍并食用免费咸菜的行为，从法律角度分析，店家有权拒绝提供免费咸菜，因为免费咸菜通常是店家为点餐顾客提供的附加服务，大哥未点餐而享用可能构成对店家权益的侵犯。以下从多个角度进行详细分析：
店家的权利与义务：
- 权利：店家作为经营者，有权决定其提供的商品和服务范围，包括是否提供免费咸菜以及提供给哪些顾客。免费咸菜通常是店家为了吸引顾客、提升用餐体验而提供的一种附加服务，并非法律强制要求。因此，店家有权根据自身的经营策略和成本考虑，决定是否向未点餐的顾客提供免费咸菜。
- 义务：店家在提供商品和服务时，应当遵守相关法律法规，如《消费者权益保护法》等，保障消费者的合法权益。然而，这并不意味着店家必须向所有进入店内的顾客提供免费咸菜，特别是当顾客未点餐而仅享用免费咸菜时，店家有权拒绝。
大哥的行为性质：
- 大哥带馒头进饭店泡馍并食用免费咸菜的行为，从表面上看似乎只是个人消费习惯的问题，但实际上可能涉及到对店家权益的侵犯。如果店家明确规定免费咸菜仅供点餐顾客享用，那么大哥的行为就可能构成对店家规定的违反，甚至可能构成对店家财产权的侵犯（如果店家将免费咸菜视为其财产的一部分）。
法律后果与责任：
- 在这种情况下，如果店家拒绝提供免费咸菜，大哥应当尊重店家的决定，不得强行要求或采取其他不当行为。如果大哥坚持要求享用免费咸菜并因此与店家发生争执或冲突，可能会承担相应的法律责任，如扰乱公共秩序、侵犯他人财产权等。
- 从店家的角度来看，如果大哥的行为给店家造成了经济损失或不良影响，店家也有权要求大哥承担相应的赔偿责任或采取其他法律措施维护自身权益。
对公众的启示：
- 这起事件提醒我们，在享受商家提供的免费服务时，应当尊重商家的规定和权益。免费服务并非无限制的，商家有权根据自身的经营策略和成本考虑来决定服务的范围和对象。
- 同时，商家也应当在提供免费服务时明确告知顾客相关规定和限制，以避免不必要的纠纷和冲突。例如，可以在店内显著位置张贴告示或口头告知顾客免费咸菜仅供点餐顾客享用等。
结合时事的普法教育：
这起事件也为我们提供了一个普法的契机。在日常生活中，我们经常会遇到各种免费服务或优惠活动，但这些服务或活动往往都有一定的限制和条件。作为消费者，我们应当了解并遵守这些规定和条件，以维护良好的消费秩序和商家权益。同时，商家也应当加强宣传和管理，确保免费服务或优惠活动的合法性和合规性。
综上所述，店家有权拒绝向未点餐的顾客提供免费咸菜，大哥应当尊重店家的决定并遵守相关规定。如果双方因此发生纠纷或冲突，应当通过合法途径解决并承担相应的法律责任。