结论：顺风车托运宠物死亡，司机是否承担责任需视具体情况而定，主要取决于司机是否存在过错以及托运合同中的相关约定。以下从不同角度进行分析：
一、司机过错角度
司机存在故意或重大过失：
- 如果司机在运输过程中存在故意虐待宠物、严重疏忽（如长时间未检查宠物状态、未提供必要的水和食物等）导致宠物死亡，那么司机应当承担相应的赔偿责任。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
司机无过错或一般过失：
- 如果宠物死亡是由于不可抗力（如自然灾害、意外事故等）或宠物自身健康原因导致的，且司机在运输过程中已经尽到了合理的注意义务，那么司机可能不承担或仅承担部分责任。
- 法律依据：同样依据《中华人民共和国民法典》，如果损害是因受害人故意或者不可抗力造成的，行为人不承担责任。在一般过失的情况下，可能根据具体情况减轻或免除司机的责任。
二、托运合同角度
合同中有明确约定：
- 如果托运合同中明确约定了司机在运输过程中的责任和义务，以及宠物死亡时的赔偿方式和标准，那么应当按照合同约定执行。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》中关于合同的规定，依法成立的合同，对当事人具有法律约束力。当事人应当按照约定履行自己的义务。
合同中无明确约定或约定不明：
- 如果托运合同中没有明确约定司机在宠物死亡时的责任和赔偿方式，那么需要根据实际情况和法律规定进行判断。
- 处理方式：在这种情况下，可以首先尝试与司机协商解决；如果协商不成，可以考虑通过法律途径解决，如向法院提起诉讼或申请仲裁。
三、实际操作建议
保留证据：
- 在宠物死亡后，应尽快保留相关证据，如运输过程中的照片、视频、聊天记录等，以便在需要时证明司机的过错或合同中的相关约定。
及时沟通：
- 与司机进行及时沟通，了解宠物死亡的具体原因和司机的态度。如果司机愿意承担责任并协商赔偿，可以尽快达成协议并履行。
寻求法律帮助：
- 如果与司机无法达成一致或司机拒绝承担责任，可以寻求法律帮助。作为专业律师，我可以根据具体情况为你提供法律咨询和诉讼代理服务。
总结：顺风车托运宠物死亡时，司机是否承担责任需根据具体情况判断。如果司机存在过错或合同中有明确约定，司机应当承担相应的赔偿责任。在实际操作中，建议保留证据、及时沟通并寻求法律帮助以维护自己的合法权益。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。