结论：若因不支付抚养费而被起诉，且存在生效法律文书明确规定抚养费的支付金额和期限，而您未履行该义务，那么在权利人向法院提出申请并经法院审查认为有必要的情况下，司法机关（法院）是有可能会冻结您的银行卡的。

详细分析

1. 法律依据

   • 《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条：该条款明确规定了离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。这是要求支付抚养费的基本法律依据，明确了父母对子女的抚养义务。

   • 《中华人民共和国民事诉讼法》第二百四十九条：该条款规定，被执行人未按执行通知履行法律文书确定的义务时，人民法院有权查询、扣押、冻结、划拨、变价被执行人的财产，包括银行账户内的存款。这为司法机关冻结未支付抚养费一方的银行卡提供了法律基础。

2. 冻结条件

   • 存在生效的法律文书：如法院的判决书或调解书，明确规定了抚养费的支付金额和期限。

   • 被执行人未履行义务：即您未按照法律文书的要求支付抚养费。

   • 申请人提出申请：通常是由权利人（如未成年子女或其法定代理人）向法院提出申请，要求冻结您的财产。

   • 法院认为有必要：法院会根据案件的具体情况，判断是否有必要采取冻结措施来保障权利人的合法权益。

3. 冻结程序

   • 申请与审查：权利人向法院提交冻结申请，并提供相关证据材料。法院会对申请进行审查，确认是否符合冻结条件。

   • 裁定与执行：若法院认为符合冻结条件，会作出冻结裁定，并通知相关金融机构协助执行。金融机构在收到通知后，会依法冻结您的银行账户。

   • 通知与异议：法院会向您发出冻结通知，告知您账户已被冻结及冻结的原因。您如有异议，可以向法院提出书面异议。

4. 冻结期限与解冻条件

   • 冻结期限：根据相关法律规定，人民法院在执行过程中，对被执行人的银行存款及其他资金进行冻结时，其期限通常不得超过一年。但若案件复杂或您未能在规定期限内履行支付抚养费的义务，法院有权决定延长冻结期限。

   • 解冻条件：

     1. 履行支付义务：您在冻结期间或冻结期满后，若及时履行了支付抚养费的义务，法院将依法解除对银行卡的冻结措施。
     2. 提供担保：您可以提供相应的财产担保，以换取账户的解冻。但需注意，担保并不能免除您支付抚养费的义务。
     3. 法院裁定：在某些情况下，如冻结错误或案件情况发生变化，法院也会依职权或依申请裁定解除冻结。

建议与注意事项

• 积极履行义务：为避免银行卡被冻结带来的不便和损失，建议您积极履行支付抚养费的义务。

• 及时沟通协商：若您确实存在支付困难，建议及时与权利人沟通协商，寻求解决方案，如调整支付金额或期限等。

• 关注冻结通知：若您的银行卡被冻结，请务必关注法院发出的冻结通知，了解冻结原因和期限，并在必要时向法院提出书面异议。

• 寻求法律帮助：若您对冻结措施有异议或需要进一步的法律帮助，请及时向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议。