结论：没签采购合同出现质量问题，一般不可以直接起诉对方公司股东，但存在例外情况。以下从不同角度进行分析：
一般情况：不可直接起诉股东
合同相对性原则：
- 在商业交易中，合同具有相对性，即合同的权利和义务通常只约束合同的双方当事人。若未签订采购合同，则难以直接依据合同条款向对方公司主张权利，更无法直接起诉公司股东。
- 股东作为公司的投资者，其责任通常限于其出资额范围内，不直接参与公司的日常经营和管理，也不直接承担公司交易中的合同责任。
公司独立法人地位：
- 公司具有独立的法人地位，以其全部财产对公司的债务承担责任。在未签订合同的情况下，若出现质量问题，应首先考虑向公司本身主张权利，而非直接起诉股东。
例外情况：可起诉股东的情形
股东滥用公司法人独立地位和股东有限责任：
- 根据《中华人民共和国公司法》第二十条的规定，公司股东滥用公司法人独立地位和股东有限责任，逃避债务，严重损害公司债权人利益的，应当对公司债务承担连带责任。
- 若股东存在上述行为，如将公司财产与个人财产混同、利用公司进行欺诈等，导致公司无法履行其债务，债权人可以起诉股东，要求其承担连带责任。但这种情况需要充分的证据支持，且诉讼难度较大。
股东未履行或未全面履行出资义务：
- 根据《中华人民共和国公司法》及相关司法解释，股东未履行或未全面履行出资义务的，公司或其他股东可以要求其向公司履行出资义务，并承担相应的违约责任。
- 在特定情况下，如公司无法清偿债务且股东未履行出资义务，债权人也可以要求股东在未出资本息范围内对公司债务不能清偿的部分承担补充赔偿责任。但这种情况同样需要充分的证据支持，且需满足一定的法律条件。
法律建议
收集证据：
- 在未签订采购合同的情况下，若出现质量问题，应首先收集与交易相关的所有证据，如交易记录、沟通记录、产品样本、质量检测报告等，以证明交易的存在和质量问题的存在。
尝试协商：
- 在起诉之前，可以尝试与对方公司进行协商，寻求解决方案。协商过程中可以明确提出质量问题，并要求对方公司承担相应的责任。
咨询专业律师：
- 若协商无果，且认为存在起诉股东的可能性，建议咨询专业律师，对具体情况进行评估和分析。律师可以根据具体情况提供法律意见，并帮助制定诉讼策略。
考虑其他法律途径：
- 除了起诉股东外，还可以考虑通过其他法律途径维护自身权益，如向消费者协会投诉、申请仲裁等。具体选择哪种途径应根据具体情况和法律规定进行判断。
后续思考依据：在处理此类问题时，应充分考虑合同相对性原则、公司独立法人地位以及股东责任等法律因素。同时，应关注证据的收集和保存，以及法律途径的选择和运用。若遇到复杂情况或不确定如何处理时，应及时咨询专业律师以获取法律帮助。