结论：劳动仲裁拿到裁决书后，是否可以申请经济补偿，取决于裁决书的内容以及您是否符合可主张经济补偿的法定情形。如果裁决书已经支持了您的经济补偿请求，那么您无需再次申请；如果裁决书未涉及经济补偿或您对裁决结果不服，且您符合法定情形，您可以在法定期限内向法院提起诉讼或申请重新仲裁（具体需根据当地规定及裁决情况判断），并在诉讼或仲裁过程中主张经济补偿。
详细分析：
裁决书已支持经济补偿请求：
- 如果劳动仲裁裁决书已经明确支持了您的经济补偿请求，并确定了具体的补偿金额，那么您无需再次申请经济补偿。用人单位应当按照裁决书的要求，在规定的期限内支付经济补偿。
裁决书未涉及经济补偿或您对裁决结果不服：
- 如果裁决书未涉及经济补偿，或者您对裁决结果中的经济补偿部分不服，且您认为自己符合可主张经济补偿的法定情形，那么您可以在法定期限内向法院提起诉讼或根据当地规定申请重新仲裁（具体需根据裁决书的性质及当地仲裁规则判断）。
- 可主张经济补偿的法定情形包括但不限于：
- 劳动者被迫解除劳动合同（如用人单位未按照劳动合同约定提供劳动保护或劳动条件、未及时足额支付劳动报酬等）；
- 协商一致解除劳动合同，且由用人单位提出；
- 用人单位非过失性辞退（如劳动者患病或非因工负伤后不能从事原工作或另行安排的工作等）；
- 用人单位经济性裁员；
- 劳动合同期满终止（除用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订而劳动者不同意续订的情形外）；
- 用人单位破产、关闭等情形。
经济补偿的计算标准：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资是指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 如果劳动者月工资高于所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。
建议与行动：
- 仔细审查裁决书：首先，您需要仔细审查劳动仲裁裁决书，了解裁决书的具体内容，特别是关于经济补偿的部分。
- 准备相关证据：如果您认为自己符合可主张经济补偿的法定情形，且裁决书未支持您的请求或您对裁决结果不服，那么您需要准备相关证据以支持自己的主张。这些证据可能包括劳动合同、工资单、解除劳动合同的通知、用人单位的规章制度等。
- 咨询与行动：在准备证据的过程中，如果您有任何疑问或需要进一步的法律指导，可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议和帮助。同时，根据裁决书的性质及当地仲裁规则，您可能需要在法定期限内向法院提起诉讼或申请重新仲裁，以维护自己的合法权益。