关于拖欠农民工工资时公安机关的处理方式，这确实是一个涉及劳动权益保障和法律程序的重要问题。以下是我为您提供的详细解答：
一、案件性质判断
首先，我们需要明确拖欠农民工工资的性质。在大多数情况下，这被视为一种劳动纠纷或民事纠纷，通常由劳动行政部门或劳动仲裁委员会负责处理。然而，当这种拖欠行为符合特定条件，即构成拒不支付劳动报酬罪时，公安机关就会介入立案侦查。
二、拒不支付劳动报酬罪的认定
根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，以下行为构成拒不支付劳动报酬罪：
行为方式：
- 逃避支付：如通过转移财产、逃匿等方法逃避支付劳动者的劳动报酬。
- 有能力支付而不支付：即具备支付能力但故意不支付劳动者的劳动报酬。
数额较大：
- 具体标准因地区而异，但通常指拒不支付一名劳动者三个月以上的劳动报酬且数额在五千元至二万元以上，或拒不支付十名以上劳动者的劳动报酬且数额累计在三万元至十万元以上。
经政府有关部门责令支付仍不支付：
- 政府有关部门（如人力资源社会保障部门）已下达责令支付文书，用人单位在规定期限内仍未支付。
三、公安机关的处理流程
报案与受理：
- 当农民工认为用人单位的行为涉嫌拒不支付劳动报酬罪时，可以向公安机关报案。报案时，应提供身份证明、劳动关系证明（如劳动合同、工资条等）以及政府部门责令支付的相关材料。
- 公安机关接收报案后，会进行登记并向报案人出具受案回执。
审查与立案：
- 公安机关会对报案材料进行详细审查，核实是否符合拒不支付劳动报酬罪的立案条件。这包括调查用人单位的资金状况、是否存在逃避支付行为、是否收到政府部门的责令支付文书等。
- 若认为有犯罪事实需要追究刑事责任且属于自己管辖，公安机关会制作《立案决定书》予以立案；若不符合立案条件，则不予立案，并制作《不予立案通知书》送达控告人。
侦查与处理：
- 一旦立案，公安机关将展开侦查工作，收集证据材料以查明案件事实。
- 根据侦查结果，公安机关会对违法用人单位进行处罚，如罚款、拘留等。对涉嫌拒不支付劳动报酬罪的，会依法追究相关责任人的刑事责任。
- 在调查处理过程中，公安机关也会积极协调双方矛盾，寻求解决方案，并监督协议履行情况。
四、其他建议
保留证据：
- 农民工在维权过程中应保留好相关证据，如工资条、考勤记录、劳动合同等，以便在申诉时有效维护自身合法权益。
及时主张权利：
- 劳动仲裁时效期间为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，农民工应及时主张权利，避免超过时效期限。
多途径寻求救济：
- 对于不构成犯罪的拖欠工资行为，农民工可以通过劳动监察、劳动仲裁、民事诉讼等途径寻求法律救济。
综上所述，公安机关在处理拖欠农民工工资问题时，会根据案件性质采取相应的处理措施。农民工在维权过程中应了解相关法律法规和程序要求，并积极配合相关部门的工作，以便更有效地解决纠纷并追回被拖欠的工资。