结论：取保候审和监视居住期间，原则上不允许擅自外出务工，但符合法定条件并经批准后可以外出。

1. 取保候审期间的外出限制
   根据《刑事诉讼法》第71条，被取保候审的犯罪嫌疑人、被告人未经执行机关（公安机关）批准，不得离开所居住的市、县。若需外出务工（即离开居住地），必须向执行机关提出书面申请，说明理由、目的地、时间等，并附相关证明材料（如用工合同、居住证明等）。执行机关会根据案件情况（如社会危险性、是否可能逃避侦查等）决定是否批准。若擅自外出，可能被没收保证金、重新拘留，甚至逮捕。

2. 监视居住期间的外出限制
   监视居住的强制程度高于取保候审。根据《刑事诉讼法》第77条，被监视居住的人未经执行机关批准不得离开执行监视居住的处所（通常是住所或指定居所）。若需外出务工，需满足更严格的条件：

   • 必须因生活、医疗等必要事由；
     
   • 需经执行机关（公安机关）批准，并可能要求提供担保人或交纳保证金；
     
   • 外出期间可能被要求定时报告行踪、接受电话查验等。
     擅自离开处所的，可能被立即逮捕。

3. 实务中的关键点

   • 批准难度：实践中，取保候审期间申请外出务工的批准率较低，除非能证明外出是必要且无社会危险性（如固定工作、家庭重大变故等）；监视居住期间批准外出几乎不可能，除非涉及生命健康等紧急情况。
     
   • 程序要求：申请需通过办案机关（如检察院、法院）同意后，由执行机关（公安机关）具体审批，流程可能较长。
     
   • 替代方案：若需长期外出，可尝试申请变更强制措施（如转为取保候审），但需符合《刑事诉讼法》第67条的条件（如可能判处轻刑、无社会危险性等）。

建议：若您或家属处于取保候审/监视居住状态，确有外出务工需求，应第一时间联系执行机关（办案派出所或经办民警），提交书面申请及相关证明材料，并耐心等待审批结果。切勿擅自离境，否则可能面临更严重的法律后果。如有具体案件情况，可进一步向我咨询细节。