结论：特许经营店和客户签合同是否可以盖授权公司公章，需根据具体情况判断，若特许经营店获得授权公司明确授权，可盖授权公司公章；若未获明确授权，则不建议盖，以免引发法律风险。以下从不同角度详细分析：
一、特许经营店获得明确授权的情况
- 法律背景：
- 根据《中华人民共和国民法典》及相关商业特许经营管理规定，特许经营是特许人将自己拥有的商标、商号、产品、专利和专有技术、经营模式等以合同的形式授予被特许人使用，被特许人按照合同约定在统一的经营模式下开展经营，并向特许人支付特许经营费用的经营活动。
- 若授权公司在特许经营合同中明确授权特许经营店在与客户签订合同时可以使用授权公司公章，或者另行出具书面授权文件，那么特许经营店在与客户签订合同时盖授权公司公章是合法有效的。
- 法律建议：
- 特许经营店应妥善保管授权文件，确保在与客户签订合同时能够出示有效的授权证明。
- 在合同中明确约定双方的权利义务，特别是关于公章使用的条款，以避免后续纠纷。
- 可能法律后果：
- 若因公章使用引发纠纷，特许经营店可凭借有效的授权文件证明自己行为的合法性，从而避免承担不必要的法律责任。
二、特许经营店未获得明确授权的情况
- 法律背景：
- 若授权公司未在特许经营合同中明确授权特许经营店使用其公章，也未另行出具书面授权文件，那么特许经营店在与客户签订合同时盖授权公司公章可能构成无权代理或表见代理。
- 无权代理是指行为人没有代理权、超越代理权或者代理权终止后，仍然实施的代理行为。表见代理是指虽然行为人事实上无代理权，但相对人有理由认为行为人有代理权而与其进行法律行为，其行为的法律后果由被代理人承担的代理。
- 法律建议：
- 特许经营店应避免在未获得明确授权的情况下使用授权公司公章，以免引发法律风险。
- 若确实需要使用授权公司公章，应事先与授权公司沟通并获得书面授权。
- 可能法律后果：
- 若因无权代理或表见代理引发纠纷，特许经营店可能需要承担合同无效或被撤销的法律后果，甚至可能面临赔偿损失等责任。
- 若授权公司事后追认特许经营店的行为，则合同有效，但特许经营店仍应谨慎行事，避免给授权公司带来不必要的麻烦。
进一步思考：在实际操作中，特许经营店应严格遵守与授权公司签订的特许经营合同及相关法律法规的规定，确保自身行为的合法性。若对公章使用有疑问或需要进一步的法律指导，可直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。