私自砍伐红豆树可能面临行政处罚或刑事处罚，具体取决于砍伐数量、情节严重程度以及红豆树的保护级别。以下分情况详细说明：
若砍伐的是普通红豆树（非国家重点保护植物）且数量较少：
- 行政处罚：根据《中华人民共和国森林法》第五十六条、第七十六条规定，未经县级以上人民政府林业主管部门批准并核发林木采伐许可证，擅自砍伐林木的，由县级以上人民政府林业主管部门责令限期在原地或者异地补种盗伐株数一倍以上五倍以下的树木，并处盗伐林木价值三倍以上十倍以下的罚款。若砍伐数量虽少但属于无证采伐，仍可能面临上述行政处罚。
若砍伐的是国家重点保护的红豆树（如列入《国家重点保护野生植物名录》的种类）：
- 刑事处罚：根据《中华人民共和国刑法》第三百四十四条规定，违反国家规定，非法采伐、毁坏珍贵树木或者国家重点保护的其他植物的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金；情节严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。红豆树若属于国家一级或二级保护植物，私自砍伐即构成犯罪，需承担刑事责任。
- 情节认定：是否构成“情节严重”需结合砍伐数量、是否造成严重后果、是否具有主观故意等因素综合判断。例如，砍伐多株国家重点保护红豆树，或砍伐后导致该物种生存受到严重威胁的，可能被认定为“情节严重”。
特殊情形：
- 农村自留地、房前屋后个人所有的零星林木：根据《森林法》第五十六条，农村居民采伐自留地和房前屋后个人所有的零星林木，不需要申请采伐许可证。但需注意，若该红豆树属于国家重点保护植物，仍需遵守相关保护规定，不得擅自砍伐。
- 误砍或不知情：若行为人主观上不知红豆树属于保护植物，或因疏忽误砍，可能减轻处罚，但需提供证据证明无主观故意。实践中，此类情形仍可能面临行政处罚，刑事责任需结合具体情节判断。
建议：若涉及红豆树砍伐，务必先确认其是否属于国家重点保护植物，并依法申请采伐许可证。若已实施砍伐行为，建议立即停止并主动向林业主管部门说明情况，配合调查，以争取从轻处理。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体法律问题。